すべての桁が「１」である整数の中に2019の倍数がある

　新年あけましておめでとうございます。


　更新がないのにいつも大勢の皆さんにご来訪いただき、ありがとうございます。私の近況はというとあまり変わりはなく、大学院（放送大学）の履修科目の勉強などをほそぼそと続けています。そんな中、最近のちょっとした「マイブーム」としては高校数学の問題を解くのが面白く、その手のユーチューブ画像などを眺めては懐かしんだり感心したりなどしています。（私は大学は文科系ですが数学が好きで、受験生時代はそれが得点源でした。）

　という訳で、突然ですが今日は「そんなふうに考えて解くのかぁ～～」と感じ入った問題のご紹介です。


＜問題＞
　11、111、11111などのように、すべての桁が「１」である整数の中に、2019の倍数があることを示せ。


　なんともとっかかりがないと言うか、一体何をどこから考えれば良いのかわからない問題ですね。（汗）
　どこまでわかりやすく書けるか心もとないですが、解答は以下です。



＜解答＞

　1÷2019の商はゼロ、余りは1
　11÷2019の商はゼロ、余りは11
　111÷2019の商はゼロ、余りは111
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　　・
　　・
　111･･･1111÷2019の商は□、余りは△

のように、「１」だけでできた異なる整数を2019で割る割り算を2020個考える。（Ａ）

整数を2019で割った余りは0～2018の2019通りだから、（Ａ）で考えた2020個の割り算の中に、同じ余りとなるもの（商は異なっても）が少なくとも１組存在する。その１組の割り算の商をそれぞれＹとＺ、余りをｒとすると、

　　　11111･･･111＝2019×Ｙ+ｒ　　（Ｂ）
　　　　 11･･･111＝2019×Ｚ+ｒ　　（Ｃ）

と書くことができる。（Ｂ）の元の数の桁数をｂ、（Ｃ）の元の数の桁数をｃとし、（Ｂ）－（Ｃ）を計算することにより、

　　　　　111･･･11000･･･00＝2019（Ｙ－Ｚ）　　（Ｄ）

を得る。（Ｄ）の左辺は一番上の桁から「１」が（ｂ－ｃ）個、「０」がｃ個並んだ整数であるから、

　　　　　111･･･11×10^c＝2019（Ｙ－Ｚ）　　　（「10^c」は10のC乗）

と書くことができる。従って左辺は2019の倍数となるが、10と2019は互いに素（１以外の共通因数を持たない）であるから、この等式が成り立つためには「1」が（b-c）個並んだ整数である「111･･･11」が2019の倍数でなければならないこととなり、題意は示された。


　きちんと表現できているか心配ですが、こんな素晴らしい問題とその解答に出会うと、また数学が好きになりそうです。　　^^



　ではまた。