素数は無限に存在する

　おはようございます。

　冬だから当たり前ではありますが、ここ数日特に寒いですね。関東でも、明日の日曜日は雪かもとのこと。こんな日は「勉強日和」かもしれませんね。被害が出るような大雪にならないと良いのですが。


　さて今日も、このところはまっている数学の問題をご紹介します。


＜問題＞
　素数は無限に存在することを証明せよ。


　「素数」というのは、２、３、５、７、１１･･･のように、「自分自身と１以外に約数を持たない（それ以外の数では割り切れない）数」のことですね。数が大きくなるほど、その数が何かで割り切れる可能性は高くなるでしょうから、素数が出現する頻度はどんどん下がっていきます。ですがそれでも、どんなに大きな数をもってきても、それより大きい素数が必ずある、というわけです。
　ちなみに、この記事を書いている時点で発見されている最大の素数はなんと2486万桁の数で、先月（2018年12月）発見されたもの。当時は最大だった 2325万桁の素数をそのまま記載した書籍もあるそうですよ。（「2017年最大の素数」虹色社　1,944円）



＜解答＞
　背理法で証明します。
　素数が有限だと仮定して、その最大の素数をＰ、２からＰまでのすべての素数を掛け合わせ、それに１を足した数をＱとする。
　　　　Ｑ＝２×３×５×７×１１×・・・×Ｐ＋１　　（Ａ）
（１）Ｑが素数である場合
　明らかにＱ＞Ｐであるから、Ｐよりも大きい素数Ｑが存在することとなり、仮定に矛盾する。
（２）Ｑが素数でない場合
　素数でないとすれば、Ｑは２つ以上の素数の積で表せる（例えば Ｑ＝Ｒ×Ｓ のように）こととなる一方、（Ａ）より、ＱはＰ以下のどんな素数で割っても１余る（＝割り切れない）から、その積がＱとなる２つ以上の素数（上記のＲやＳ）は、いずれもＰより大きくなければならない。従ってこの場合も、Ｐより大きい素数が存在することとなり、仮定に矛盾する。

（１）（２）より、Ｑが素数である・素数でないいずれの場合でも、Ｐが最大の素数であるという仮定に矛盾することから、素数が有限であるとの最初の仮定が誤りであり、素数は無限に存在することが示された。



　前回の問題もそうですが、こんなものに接すると私などは数学ってすごい、面白いと思ってしまいます。それがつまりは、数学が好き、ということなんでしょうね。


　大学院で履修している科目のレポートが２つも残っていて提出〆切まであと数日。数学などにかまけている場合ではない（汗）ので、この週末はそちらに取り組みます。そう言えば、今年度最後の漢検本試験ももう間もなくですね。受検される皆さんのご健闘をお祈りいたします。