解答の不備が分かった

　コマネチ大学数学科の問題の解答で不備を感じていたが、コメントをしてくれた方がいたのでスッキリ。（この記事のコメントを見て下さい。）

解答の不備は　a^2=n(n+1)/2 から直ちに
(1) n/2, n+1 がともに平方数である。（nが偶数のとき）
(2) n, (n+1)/2 がともに平方数である。（nが奇数のとき）

と場合分けをしてしまったこと。

a^2=n(n+1)/2 からn, n+1が互いに素であることを言うと解答の不備がなくなる。
以下、コメントに多少の補足を入れてみました。

※n, n+1 は互いに素
　なぜなら素数の公約数pを持つとすると, n=kp, n+1=mp と書ける、
ところが mp-kp=(m-k)p=1 1が素数の倍数となり、矛盾。
したがってn, n+1 は互いに素である。

このことから、(1)または(2)が言えることを示す。

※　nが偶数の時、n/2, n+1も互いに素。
　なぜなら、nが偶数であるからn/2は整数になるが、n/2の素因数分解で表れる素数はnの素因数分解から素因数2をひとつ減らしたものである。
ところで、nの素因数分解で表れる素数とn+1の素因数分解で表れる素数に共通のものはないから、n/2とn+1の素因数分解で共通な素数はない。
したがって、n/2, n+1 は互いに素。


さて、
a^2=n(n+1)/2であるからa^2=n/2×(n+1)

n/2 ,n+1のどちらかが平方数でないとする。
今、n/2を平方数でないとして、その素因数分解を考えると、各素因数の指数で偶数でないものが１つは存在することがわかる。その素因数をpとしよう。
（すべての指数が偶数であれば平方数に他ならないから）

　ところで、a^2=n/2×(n+1)であるからa^2の素因数分解において、すべての素因数の指数は偶数であるから、n+1の素因数のなかにpの奇数乗が含まれなければならない。これはn/2, n+1が互いに素であることに反する。
　したがってn/2は平方数でなければならない。

　同様にして、n+1も平方数である。

以上から(1) n/2, n+1はともに平方数。（nが偶数の時）

nが奇数の時はn+1は偶数となるので、同様に
(2) n, (n+1)/2 はともに平方数である。


これで不備が解決。
　
コメントを寄せて下さったsukarabeさんに感謝申し上げます。