ルベーグ積分

　確率の授業をやっていると、「測度」の問題を考えることが出てくる。
「測度」とは

　例えば、数直線で０以上１以下の区間の「長さ」は普通「１」と言われる。
　このように、区間（集合）を数（長さ）に対応させるものを「測度」という。（不正確かも・・・）

　では、数直線で０以上１以下の区間から、１点を除いた残りの区間の長さはというと・・・。１点の長さは０と考えられるから、
　残りの区間の長さは１であると考える。

では１０００個の点を除いた残りは　　(1)
１００００個の点を除いたら？ (2)
こういうことを考えるときに使われるのが「測度」という概念だ。

われわれが普通常識で考えている区間の長さを求める場合に使われる測度を
「ジョルダン測度」というそうだ。

ジョルダン測度では、(1)(2)いずれの場合でも、長さは１だという。

「ジョルダン測度」に基づく積分をリーマン積分というそうだ。
高校までの微積で出てくる積分はすべてリーマン積分。
とおいうことは大学時代に学んだが、実はリーマン積分は非常に条件が厳しくて、
項別積分や極限をとるときにいろいろな条件が必要だという。

　この欠点を改善したのが「ルベーグ積分」といい、ルベーグ測度に基づいて考案された積分だそうだ。
ルベーグ積分は「確率論」で使われる。学生時代はよく分からなかったが、最近になって本を読み返してみると、何だか面白そうに思えたので、ちょっとだけ調べてみようと言う気になった次第。何か分かったら、また記事にします。