置換群を調べる

　３月に退職し、現在はのんびりと自宅にいる。今取り組んでいるのは置換群、といっても３次と４次のもの。ガロアの理論を攻略したいのだが、ネックは最後の方に出てくる５次の置換群が可解でないということ。いままで適当に読み飛ばしたので、良く分かっていない。退職して時間があるので、３次の置換群と４次の置換群について調べているところ。
　置換群の乗積表を手作業で作るのは大変だから、10進Basicというプログラムソフトでプログラムを作って調べる予定。
　とりあえず10進Basicでは２つほどプログラムを作った。１つは文字置換をするプログラム。もう一つは置換の積を作るための変換プログラムだが、こちらは必要なくなりそう。

　置換群について説明する前に、作ったプログラムの説明をしておこう。
文字置換をするプログラムの動作は、任意の文字列の順番を入れ替えるプログラムだ。

入力に文字列を　例として　abc を入力。
次の入力で132と入力すると、
出力が　acb となる。
お分かりだろうか・・・

　最初の入力abcで、1-a 2-b 3-c というように文字と数の順が結びつく（対応する）
次の入力　132 でこの順を変える命令になる、　1-a 3-c 2-b
結果の出力は acb となる。

つぎに結果のacbに対して順を312とすると、出力はbacとなる。
a-1 c-2 b-3という対応を与えたあと、この順を312としたわけだ。
これははじめのabcに対して213という命令を与えたことと同じになる。

そこで、abcに対して132に続き 312という命令を与えると結果は213となることが分かる。

文字の入れ替え132を[132]、312を[312]と書くことにし、２つの入れ替えを続けて行うことを積・　で表すと

[132]・[312]=[213] が成り立つ。

こうした積について文字の入れ替えの全体は
(1) 結合法則を満たす。
(2) また、積について、相手を変えないもの、単位元というが存在する。
ここでは、[123]がそれである。
(3) また任意の文字の入れ替えについて、逆の働きをするものが必ず１つ存在する。
　たとえば[132]に対して[132]、[231]に対して[312]などである。

(1)(2)(3)を満たすものの全体を群という。

　群など知らない人に紹介するために積を上のように定義したが、実際に数学書にある置換群や置換は上の定義とは少し違う。まあ雰囲気だけは伝わったかと思う。
　文字入れ替えのプログラムはできた。これを使って、数学書にある置換の積を計算させたいのだが、うまく結果が一致してくれない。たぶん置換や置換群の理解が不足しているので勘違いがあるのだろうと思う。余裕があったら、うまくいかなかったことをレポートしてみたい。