極限の勉強 級数２を復習
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まず級数の極限値についての証明
これが成り立つわけを説明する。
多少厳密さは犠牲にするが、
まず、級数の和
について、
この数列は収束することが知られている。その極限値をγとする。
γはオイラーの定数と言って、その値は 0.5772.... となるそうである。
この式を利用して
を証明しよう。
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まず (1)
とおく。
この級数はn個の項を持つ。
項数を２倍にすると (2)
(1)を2で割ると、分母が偶数だけの級数が出来る。(3)
(2)から(3)を引くと、分母が奇数だけの級数が出来る。項の個数はn個であることに注意する。
ここからもう一度(3)を引くと、分母が奇数の正の項と分母が偶数の負の項で作られた級数が出来る。
項の個数は2n個であることに注意する。
もうひと息。
級数４へつづく
