自然数の４乗和－７

　いよいよ自然数の４乗和を求めることにする。
自然数の２乗和を求めるときと同じようにする。
（自然数の４乗和－４参照）

1^4=1
1^4+2^4=17
1^4+2^4+3^4=98
1^4+2^4+3^4+4^4=354
1^4+2^4+3^4+4^4+5^4=979

・・・・・・
以下を表にまとめると


n －－＋　４乗の和　　＋　素因数分解
－－－－＋－－－－－－－＋－－－－－－－－
　　１　　　　　　１
　　２　　　　　１７
　　３　　　　　９８　　　　２＊７＊７
　　４　　　　３５４　　　　２＊３＊５９
　　５　　　　９７９　　　　１１＊８９

　　６　　　２２７５　　　　５＊５＊７＊１３
　　７　　　４６７６　　　　２＊２＊７＊１６７
　　８　　　８７７２　　　　２＊２＊３＊１７＊４３
　　９　　１５３３３　　　　３＊１９＊２６９
　１０　　２５３３３　　　　７＊７＊１１＊４７

　１１　　３９９７４　　　　２＊１１＊２３＊７９
　１２　　６０７１０　　　　２＊５＊１３＊４６７
　１３　　８９２７１　　　　３＊３＊７＊１３＊１０９
　１４　１２７６８７　　　　７＊１７＊２９＊３７１７８
　１５　１７８３１２　　　　２＊２＊２＊３１＊７１９

　１６　２４３８４８　　　　２＊２＊２＊１１＊１７＊１６３
　１７　３２７３６９　　　　３＊７＊７＊１７＊１３１
　１８　４３２３４５　　　　３＊５＊１９＊３７＊４１
　１９　５６２６６６　　　　２＊１３＊１７＊１９＊６７
　２０　７２２６６６　　　　２＊７＊４１＊１２５９

　ここで今までの公式を振り返る。
自然数の和　n(n+1)/2 ・・・２次式
２乗和　　　n(n+1)(2n+1)/6　 ・・・３次式　　
３乗和　　　{n(n+1)/2}^2　　 ・・・４次式

さて、４乗和はたぶん５次式で、因数にn、n+1　があると予想される。
そこで素因数を観察すると・・・。ｎが素数のときの４乗和の素因数を
見ると、

ｎ＝５のとき、因数ｎはないが、たぶん約分されているはず。

ｎ＝７、１１、１３、１７、１９のとき、
素因数に７、１１、１３、１７、１９がある。

このことから、和の公式に因数ｎがあることがわかる。

次に、因数ｎ＋１があるかを調べる。ｎ＋１が素数になる場合は
ｎ＝１、２、４、６、１０、１２、１６、１８のとき

１，２，４では約分されている。
ｎ＝６、１０、１２、１６、１８　のとき
素因数に７、１１、１３、１７、１９が見つかる。
このことから、和の公式に因数ｎ＋１があることがわかる。

さて、次の予想は、因数２ｎ＋１があるかを調べる。
２ｎ＋１が素数になるのは
ｎ＝１、２、３、５、６、８、９のときだが、
ｎ＝１，２では約分されているのでないが、
ｎ＝３、５、６、８、９のとき
２ｎ＋１＝７、１１、１３、１７、１９が見つかった。

このあとさらに、ｎ＝１１、１４、１５、１８のとき
　　　　　２ｎ＋１＝２３、２９、３１、３７が見つかった。

自然数の４乗和の次数は５次であることを考慮すると、

（自然数の４乗和）＝n(n+1)(2n+1)×（nの２次式）×（定数）
ということが予想される。

このあとは（nの２次式）×（定数）の部分を調べてみることにする。

続く