規則性の問題１

知人から次のような、受験数学の質問が来た。

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自然数をある規則性にしたがって、並べたものがあります。

一番目は、1、2、3二番目は1、2、3、4、5、6三番目は1、2、3、4、5、6、7、8、9
で、問題用紙には、3ずつ縦に並んでいます。

それで問題ですが、n番目の表に書かれている自然数の全ての合計をnを使った式
で表しなさい。
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これから、この問題をどう攻略するかを、受験数学向きに研究してみよう。

　まず、普通に考えると

n=1　　１、２、３、
n=2　　１、２、３、４、５、６
n=3　　１、２、３、４、５、６、７、８、９

では、n=4のときは数はどのように並ぶのか・・・。
連続した３つの数を１つのブロックとして増え続けて行くと予想されるので
n=4 １、２、３、４、５、６、７、８、９、１０、１１、１２

となるであろう。規則性の問題を解くときは、沢山書き並べるのが良い。
こうして、
n=1　　１、２、３、
n=2　　１、２、３、４、５、６
n=3　　１、２、３、４、５、６、７、８、９
n=4　　１、２、３、４、５、６、７、８、９、１０、１１、１２
n=5　　１、２、３、４、５、６、７、８、９、１０、１１、１２、１３、１４、１５
n=6　　１、２、３、４、５、６、７、８、９、１０、１１、１２、１３、１４、１５、１６、１７、１８

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　質問者も気づいた通り、一番右端の数が、３、６、９、１２、１５、１８、・・・と、３の倍数になっていることが分かる。

n番目は
１、２、３、４、５、６、７、８、９、・・・・・・・・・、3n

さてこの数の合計であるが、それは良く知られた方法で
S=１ ＋ ２ ＋ ３ ＋４＋５＋６＋７＋８＋９＋・・・・・・・・・＋(3n-2)＋(3n-1)＋3n 　・・・・・(1)
S=3n＋(3n-1)＋(3n-2)＋・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・＋ ３ ＋ ２ ＋１　　・・・・・(2)

各項の上下の和は3n+1で、項は3n個あるから

2S=(3n+1)×3n

したがって、S=3n(3n+1)/2

これが普通の解き方なのだが、実は裏技がある。
受験数学の面白い所でもあり、つまらない所でもある。
つづく