入試問題の答え

入試問題の答え。
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（たて６マス）×（横７マス）計４２個の正方形のマス目に○か×を１個ずつ書き込む用紙２枚がある。
今TとSの２人が、それぞれの用紙に○を21個ずつ×を21個ずつ、計42個書き込んだ場合を考える。
このときTとSの２人の用紙を見比べて、同じ正方形の場所に○が何個書き込まれているか調べる。
つまり同じ位置に書き込まれた○の数を数える。
同様に同じ位置に書き込まれた×の数を数える。

今、
同じ位置に書き込まれた○の数がa個
同じ位置に書き込まれた×の数がb個
とすると、常にa=bが成り立っていることを説明せよ。
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　具体的な図の例をあげて説明しよう。T、Sが12個のマスに○×を書き込んだ例。


今TさんとSさんの書き込みを比べ、一致した○の所は赤、×が一致していれば青で色分けをしたところ。
あとの説明が分かるように
１段目はすべて一致
２段目は一部一致
３段目すべて不一致
としたもの。

　ここで不一致のマス目を見ると、Tさんが○のときはSさんが×、Tさんが×のときはSさんが○
であることに気づく。不一致のマス目は色が塗られていない。
　以上の準備をしてから説明に入る。
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解答例

それぞれのマスは次の４種類に分けられる。
ア　TさんSさんが○をつけた箇所。
イ　TさんSさんが×をつけた箇所。
ウ　Tさんが○、Sさんが×をつけた箇所。
エ　Tさんが×、Sさんが○をつけた箇所。

Tさんの立場からそれぞれの個数を考えると
アはa個、イはb個、ウは(21-a)個、エは(21-b)個

ここでSさんの○の数に注目すると、アエから、a+(21-b)=21
これよりa=b