素因数分解や展開の応用

　因数分解や展開の利用例としては、自然数の約数の和を求めたいとき、
例えば１２の約数の和。１２の約数は1,2,3,4,6,12だから、
１２の約数の和は1+2+3+4+6+12=28
ここで、１２の素因数分解は2^2×3
このとき、2^2の約数は1,2,2^2 3の約数は1,3に注意すると
(1+3)(1+2+2^2)この多項式を展開すると、つぎのような項たちが得られる

1×1, 1×2, １×2^2, 3×1, 3×2, 3×2^2
これは　1, 2, 4, 3, 6, 12 でちょうど１２の約数。

ところで、(1+3)(1+2+2^2)＝4×7＝28ではないですか？
(1+3)(1+2+2^2)＝1×1＋1×2＋１×2^2＋3×1＋3×2＋3×2^2＝２８

例題　７５の約数の和を求めよ。
　　　
解答　７５＝３×５^2 (1+3)(1+5+5^2)＝４×３１で１２４が正解。

７５の約数は　上の式を展開して得られるときの各項。
1,5,25,3,15,75 でこれらの和は１２４である。

教科書を読んでないようだ

　いつもの通り、xの２乗は「x^2」と書き表すことにします。

　数学の試験で、x^2+4x+3=(x+1)(x+3)とするときのx+1, x+3を何というのかという問題に対して、「因数」と答えた答案が少なかった。生徒が教科書を良く読み込んでいないようだが、私の授業に不十分さがあったのだろうか？２次方程式を習ったばかりなので、「解」と答えた答案が多かった。

　授業では素因数分解を教えたあと、因数分解を教えている。
(x+1)(x+3)=x^2+4x+3という展開の等式で、x=10とおくと、この式は
11×13＝141という等式になる。各位の数がx^2やxの係数になっている。
逆に141＝11×13は素因数分解。このとき11, 13を141の因数と教えた。
この類推からx^2+4x+3=(x+1)(x+3)という変形を因数分解といい、
x+1, x+3 は因数と言うのだが・・・。分かっていたのかな？

　因数分解は高次の多項式を低次の多項式の積にするので、
高次の多項式の性質が因数分解によってわかりやすくなる。
このことは大きな自然数も素因数分解によってその性質がよく分かるのと同じ。
高校ではこの手法をよく使う。でも、あまり数学を語ってもなぁ・・・。
生徒にはもっと教科書を読み込んでもらいたいと思う。

自宅内無線LAN構築

　無線LANの子機２台を使って、２台のパソコンをつないだ。ディスクトップ上のファイルはノートパソコンでアクセスできるようになった。家庭内LANである。もう１台Macをつないでみたい。これで家中どこからでも仕事ができる。家で仕事か・・・。こうやって教員ってのは家に仕事を持ち込むんだよなぁ。