自然数の構築

　整数の構築。つまり集合に演算を定義して、集合に構造を構築するのだが、高木貞治著の「数の概念」という本では私には難しかった。（私の1949年版だったことが分かった。）
　そこで、蔵書の中から数の集合を構築するような内容が書かれている書物を探した。もちろんファンデルヴェルデンではない。それには証明など詳しく載っていないからだ。
　探してみたら、岩波書店発行の「現代数学概説１」というのがあった。大学１年のときに手に入れたが、難解であきらめてしまった本である。この本の巻末付録に自然数→整数→有理数→実数という道筋で数を構築する内容が載っていた。553ページから読み始めた。約３時間かけてようやく加法の導入と証明。また３時間ほどで乗法。１日目に加法、２日目に乗法だ。そして、やっと大小関係に入る。やっと556ページまで読むことができた。
　ペアノの公理から始めて、加法を導入する。おかげで数学的帰納法の手法が良く分かった。また、高木貞治著の「数の概念」では、もっと基本的にペアノの公理を導くところから説いていることもわかった。こういう勉強を学生時代にやっておけばよかった。いや、教員になりたての時代にやっておけばよかったと思っている。遅かったな。ガロアの理論などというよりももっと基本の勉強も大事だったということが分かった。

　手に入れた知識は、自然数の加法の交換法則、結合法則と乗法の交換法則と結合法則が成り立つことの証明が分かったこと。証明はただ追っただけなので、何度も読み返し、自分で証明を作ってみるとよいようだ。これは旅行から帰ってからの仕事になるだろう。