ド・モルガンの法則 つづき

ド・モルガンの法則の証明

(A∪B)の補集合⊂(Aの補集合)∩(Bの補集合)

これで証明の前半が終わった。

後半は(Aの補集合)∩(Bの補集合)⊂(A∪B)の補集合を示せばよい。
それには、x∈(Aの補集合)∩(Bの補集合)として、x∈(A∪B)の補集合　であることを導く。

では・・・。
x∈(Aの補集合)∩(Bの補集合)であるから
x∈(Aの補集合)かつx∈(Bの補集合)

すなわち
x∉A　かつ　x∉B

ここで、もしx∈A∪B とすると
　x∈A または　x∈B
ところが、これは　x∉A　かつ　x∉Bに反する。
したがって、x∈A∪Bではない、ということになる。
すなわちx∉A∪B

　このことからx∈(A∪B)の補集合　
したがって、(Aの補集合)∩(Bの補集合)⊂(A∪B)の補集合

(A∪B)の補集合⊂(Aの補集合)∩(Bの補集合)であったから

(A∪B)の補集合＝(Aの補集合)∩(Bの補集合)

以上で証明終わり

いかがだったろうか・・・。このように集合に関する等式の証明は図などを使わずとも証明できる。

ところが・・・
(A∩B)の補集合＝(Aの補集合)∪(Bの補集合)
こちらに挑戦したのだが、なかなかうまくいかない。困った・・・。
ここの事情については機会があったらアップする予定。