1/7の小数表示0.142857142857・・・で得られた循環節。
142857に整数を掛けると、この順にその数が循環して入れ替わる。
すなわち
142857×2 = 285714
142857×3 = 428571
142857×4 = 571428
142857×5 = 714285
142857×6 = 857142
などの説明をしよう。
まず
1/7=0.142857142857142857・・・
の循環節で、142857×7=999999であることが説明された。
ということは aを２以上6以下の整数とすれば
142857×aは999999を超えない。
すなわち0.142857142857142857・・・・×aをおこなっても
各循環節142857の数に繰り上がりが起こらない。
つぎに2/7の小数表示を考えるときに2÷7のかわりに
2/7 = 1/7 × 2と考えて、1/7 = 0.142857142857142857・・・・であるから
2/7 = 0.142857142857142857・・・×2
このとき、循環節に繰り上がりが生じないので、右の循環節６桁の２倍は左の循環節６桁に影響を与えない。
0.142857142857142857・・・×2=0.142857×2+0.000000142857×2+・・・は
循環節は142857×2を計算した結果と一致する。
ところで1/7 = 1÷７は下の計算の(1)から(6)を繰り返す。
(1) １を７で割るには、０を下ろして、１０を７で割り、商が１余りが３
(2) ３を７で割るには、０を下ろして、３０を７で割り、商が４余りが２
(3) ２を７で割るには、０を下ろして、２０を７で割り、商が２余りが６
(4) ６を７で割るには、０を下ろして、６０を７で割り、商が８余りが４
(5) ４を７で割るには、０を下ろして、４０を７で割り、商が５余りが５
(6) ５を７で割るには、０を下ろして、５０を７で割り、商が７余りが１
(1) １を７で割るには、０を下ろして、１０を７で割り、商が１余りが３
(2) ３を７で割るには、０を下ろして、３０を７で割り、商が４余りが２
(3) ２を７で割るには、０を下ろして、２０を７で割り、商が２余りが６
(4) ６を７で割るには、０を下ろして、６０を７で割り、商が８余りが４
(5) ４を７で割るには、０を下ろして、４０を７で割り、商が５余りが５
(6) ５を７で割るには、０を下ろして、５０を７で割り、商が７余りが１
(1) １を７で割るには、・・・・・
さて2/7について
0.142857142857142857・・・×2=0.142857×2+0.000000142857×2+・・・は
循環節は142857×2を計算した結果と一致する。
また2/7 ＝2÷7は上の(1)から(6)のうち(3)から始まって計算がくりかえされるから
2/7 =0.268714285714285714・・・となる。
したがって、
1/7×2 = 0.142857142857142857・・・×2
= 0.285714285714285714・・・
各循環節 142857はそれぞれ２倍されて 285714となるから
142857×2= 285714が得られる。
142857 × 3 についても、1/7と3/7の循環節を比較すれば良いことがわかる。
3/7 = 3÷7であるから上の(1)から(6)のうちの(2)の計算から始まりこれが繰り返される。
したがって142857 × 3 を計算すれば、商4から始まり、以下428・・・のように、
142857の数字がこの順で入れ替わる。
同様に
142857×4 は始めの計算が(5)から
142857×5 (6)から
142857×6 (4)から
というふうに同様に繰り返す
おわり
