久しぶりの中学校のボランティアに行ってみると、循環小数を勉強している生徒がいた。
よく知られているように、1/7を小数で表すと
1/7=0.142857142857142857142857・・・
142857という数の列が無限につづく。
この話題である。
教科書では
2/7=285714285714285714・・・
を紹介。どうして同じ数の列が続くのかの説明するための話題を提供していた。
すなわち、2÷7を行って割り進んでゆくと、７で割った余りが６、４、５、１、３と続き、再び２が余るので
それに伴って商が２、８、５、７、１、４と続く。
縦に並べ書くと
２を７で割るには、０を下ろして、２０を７で割り、商が２余りが６
６を７で割るには、０を下ろして、６０を７で割り、商が８余りが４
４を７で割るには、０を下ろして、４０を７で割り、商が５余りが５
５を７で割るには、０を下ろして、５０を７で割り、商が７余りが１
１を７で割るには、０を下ろして、１０を７で割り、商が１余りが３
３を７で割るには、０を下ろして、３０を７で割り、商が４余りが２
２を７で割るには、・・・・・
・・・・・・・・・・
これが無限に繰り返されるというわけ。
逆に、循環小数を分数に直すためには、
1/9=0.111111111111・・・
1/99=0.0101010101・・・
1/999=0.001001001001・・・
などの式を利用して・・・。
0.142857242857242857・・・
を分数に直せことができるという。
普通は 0.142857142857142857・・・= x とおいて
x = 0.14285714285142857・・・ (1)
の両辺を1000000倍して
1000000x =142857.142857142857142857・・・ (2)
(2)ー(1) より
999999x=142857
したがって、x = 142857/999999
すなわち、0.142857142857142857・・・ = 142857/999999
教科書では、
1/999999 =0.000001000001000001・・・
を利用して、0.142857142857142857・・・= 0.000001000001000001・・・×142857
ということから、
0.142857142857142857・・・= 0.000001000001000001・・・×142857 =1/999999×142857
=142857/999999
じつはこの分数は142857で約分ができて、
142857/999999 = 1/7
となるのだが、生徒はこの約分に難しさを感じていたようだ。
「やり方は分かるんですけど、約分が・・・」
といったので、電卓を取り出して
142857×2 = 285714
142857×3 = 428571
・・・・
などを示した。このあと
142857×7 = 999999
について触れたかったが、生徒は興味を示したらしく
「何でそうなるんですか？」と質問してきた。
「何でそうなるか・・・、そうなるからだよ」と訳の分からない答えをしてしまった。
知識としては知っていたのに、改めて「何で」と言われると答えに困った。
1/7を小数で表したときの循環節142857について
142857×1 = 142857
142857×2 = 285714
142857×3 = 428571
142857×4 = 571428
142857×5 = 714285
142857×6 = 857142
142857×7 = 999999
のように142857の順が代わり、７倍では999999となる。これはなぜだろう。
つづく
