対数微分法

　対数微分法をいうのを初めて知った。大学の教養でも教えてくれなかったかも・・・。
　たとえば「xのｘ乗の微分」
「xのn乗の微分」でｎが整数や実数のときは
(xのn乗の微分)=nx^(n-1)
であるが

（xのｘ乗の微分）＝x・x(n-1)=x^x ではない！

対数微分法を使う。

大学編入試験問題に対数微分法があった。
念のために数Ⅲの教科書で調べると載っていた。

y=x^xとおき、両辺の対数をとる

log y=log x^x
log y=x log x

この両辺をx で微分すると

1/y・dy/dx=log x + x・1/x

1/y・dy/dx=log x +1

したがって、dy/dx=y(log x +1)=x^x(log x +1)

あらためて、任意の実数aについてx^aの微分も
y=x^aとおき、両辺の対数をとると

log y=log x^a
log y=alog x

両辺を微分すると
1/y・dy/dx=a/x

dy/dx=y・a/x

dy/dx=x^a・a/x=ax^(a-1)

　私の時代は自然対数を学んでなかったので、logの微分などは高校では習わなかった。２年浪人したので、たぶん大学の教養課程でも習ってなかったのかも・・・。

　よく教員試験に受かったものだ。

　もっとも専門教養の問題集でこうした問題を見ていたら、対数微分法を知ったかも知れないが、専門教養の問題集でも扱ってなかったのだから、教員試験には出されない種類の問題だったのかも。よかったー。