大学編入試験の数学の問題集で大学教養程度の数学の勉強をしている。やっていると、微分の基本事項が紹介されているので、また急に基本が確かめたくなってきた。
まずは、積の微分、合成関数の微分、逆関数の微分。これらを本を見ないで、記憶を頼りに自力で証明することをやってみた。何とかできた。どうしても分からないときは本を見る。何と何冊も大学初年級の解析の本を持っていた。
証明はだいたい合っていた。
その次が三角関数の微分。というわけで、(sin x)'=cos x というのを証明する。そのためには三角関数の公式を使う。これは知っている公式から導く。
どういうことかというと・・・
微分商の分母はhとして、分子は sin(x+h)-sin x だから、これは
sin a - sin b = 2cos(a+b)/2・sin(a-b)/2 を使って変形すると
sin(x+h)-sin x = 2cos(x+h/2)・sin h/2
すると、微分商の分子は cos(x+h/2)・sin h/2
分母は h/2 となる。 k=h/2 とおけば
微分商は (cos(x+k)・sin k)/k = cos(x+k)・(sin k)/k
h→0 とすれば、 k→0 であるから 微分商→ cos x・1 = cos x
というようなことを証明した。
ここで、k→0 のとき (sin k)/k→1 を使ったので、これも証明を試みた。
などと、分かり切っていることを思い出しながら証明する。こうすることで、いろいろな公式の関連が分かってくる。一見回り道のようだが、これは近道になると信じてやっている。
公式を丸暗記して使うには限界があるのではないだろうか。実は中学生におこなった先日のテストの答案でも感じた。
まずは、積の微分、合成関数の微分、逆関数の微分。これらを本を見ないで、記憶を頼りに自力で証明することをやってみた。何とかできた。どうしても分からないときは本を見る。何と何冊も大学初年級の解析の本を持っていた。
証明はだいたい合っていた。
その次が三角関数の微分。というわけで、(sin x)'=cos x というのを証明する。そのためには三角関数の公式を使う。これは知っている公式から導く。
どういうことかというと・・・
微分商の分母はhとして、分子は sin(x+h)-sin x だから、これは
sin a - sin b = 2cos(a+b)/2・sin(a-b)/2 を使って変形すると
sin(x+h)-sin x = 2cos(x+h/2)・sin h/2
すると、微分商の分子は cos(x+h/2)・sin h/2
分母は h/2 となる。 k=h/2 とおけば
微分商は (cos(x+k)・sin k)/k = cos(x+k)・(sin k)/k
h→0 とすれば、 k→0 であるから 微分商→ cos x・1 = cos x
というようなことを証明した。
ここで、k→0 のとき (sin k)/k→1 を使ったので、これも証明を試みた。
などと、分かり切っていることを思い出しながら証明する。こうすることで、いろいろな公式の関連が分かってくる。一見回り道のようだが、これは近道になると信じてやっている。
公式を丸暗記して使うには限界があるのではないだろうか。実は中学生におこなった先日のテストの答案でも感じた。