生徒がブログを見ているので、生徒からコメントが来る。差し障りのないものならよいが、公開すると困る内容もある。今日１件「保留」にした。削除はしていない。もし書いた当人が自分のであると言ってくれば、話をして納得してもらうつもりだ。ネットは不特定多数が見ているのでいろいろなことがあるとは聞いていたが、早速問題を感じた。
歌声喫茶に行ったとき、歌いながら「この歌のキーは何だろう？」と思った。カラオケ練習で高い声も出しているので、昔よりはあの手の歌は歌えるようになったことが実感できたのは大きかった。たいていDmで高い「レ」が最高音ではないかと思う。昔歌集の楽譜で、一つの歌の最高音は高い「レ」であることが普通だから。たまに「ミ」がある。「ミ」は高いのでたいていは「ミのフラット」の音、つまりキーがEフラットメジャーかCmで、フラットが３つ付く。そのとき「ミ」にフラットが付くのだ。
ピアノ伴奏でなくてアコーディオンなら指が鍵盤のどこにあるかでキーが分かる。「モスクワ郊外の夕べ」という曲は確かDmだったと思う。最高音が「ミ」つまりEであった。階名で「ファ# ソ# シ ラ ミ」音名だと「B C# E D A」である。このときシにあたるのがいわゆるDmでは「ミ」になる。最高音である。
ロシア民謡のこのような曲が昔は高くて歌えなかったのだが、カラオケに通って練習した成果がでて歌えるようになった。
「夏の思い出」のキーははたぶんE♭だと思う。「みずばしょうのはなが」の「う」が最高音である。キーがFならこの音は「ファ」五線紙の一番上の線上の音である。出せない。E♭なら１音低くなるので誰でも（？）歌える曲になる。実際に楽譜を見てみないと分からないが・・・。
ピアノ伴奏でなくてアコーディオンなら指が鍵盤のどこにあるかでキーが分かる。「モスクワ郊外の夕べ」という曲は確かDmだったと思う。最高音が「ミ」つまりEであった。階名で「ファ# ソ# シ ラ ミ」音名だと「B C# E D A」である。このときシにあたるのがいわゆるDmでは「ミ」になる。最高音である。
ロシア民謡のこのような曲が昔は高くて歌えなかったのだが、カラオケに通って練習した成果がでて歌えるようになった。
「夏の思い出」のキーははたぶんE♭だと思う。「みずばしょうのはなが」の「う」が最高音である。キーがFならこの音は「ファ」五線紙の一番上の線上の音である。出せない。E♭なら１音低くなるので誰でも（？）歌える曲になる。実際に楽譜を見てみないと分からないが・・・。
先日、健康診断の結果が出た。昨年１１月に母が倒れたので、それからというもの酒量が増えた。それまでは飲まない日もあったのだが・・・。昨年は異常所見なし。つまり酒量を控え、炭水化物を控えた結果だ。もちろんときどきバスケットの審判をして走りまくったことも良かった。で、今年はわずかに高脂血であった。酒量が増えた影響がでたようだ。お医者様は許容範囲だとして、総合所見は異常なしにして下さった。めでたしめでたし。その日はビールをたらふく飲んだ。
公式を利用する因数分解が納得できない生徒にはこんな説明をしたことがある。中程度以上の生徒に向けてであるが，
( x + 2 ) ( x + 3 ) の展開を公式を使わないで行うと、
( x + 2 ) ( x + 3 ) = x ^2 + 3x + 2x + 6
= x ^2 + 5x + 6
この操作を逆に考えるとこうなる。
x ^2 + 5x + 6で x ^2 と 6 は積でできているが、5x は同類項をまとめた結果である。
どんな同類項をまとめた結果だったかを探ってみる。
６＝２×３ 5x = 2x + 3x だったと考えれば、つまりうまい数２と３に気づけば、
x ^2 + 5x + 6 = x ^2 + 2x + 3x + 6
= x ( x + 2 ) + 3( x + 2 ) こうして共通因数( x + 2 )が見つかる。
x + 2 = M とおいて
= xM + 3M Mでくくって
= M ( x + 3 ) Mを戻して
= ( x + 2 ) ( x + 3 )
このように因数分解できたのは、うまい数２と３を見つけたからだ、と説明する。
公式を利用すると、この操作が省略できるのだ。
こんな具合である。中程度以上の生徒はこれで納得してくれる。
歌声喫茶「ともしび」がやってきた。うちの奥さんが前から「行こう」と言っていた歌声喫茶。越谷から歩くこと６、７分のところに私営の文化センターらしい建物がある。そこに年に３回ともしびのスタッフが来るんだそうだ。
会場に集まった人たちは６０代の人たちが多い。６時開始だがその前に「リクエスト」を集めている。あちこちのテーブルからリクエストが集まった。
始まった。最初の歌は「夏の思い出」（夏が来れば思い出す。はるかな尾瀬・・・）会場いっぱいに歌声が響く。懐かしいこの雰囲気。カラオケとはちがった雰囲気。
１時間ほどで休憩。ここで会場（２階）からテラスに出た。伴奏者はピアノの代わりにアコーディオンをかついだ。やがてアコーディオンの音色が聞こえてきた。
テラスに出た。
左側の男性が歌手。テノールの優しい声。右側の女性が伴奏者。テラスではビールにワインなどを飲みながらみんなで歌う。ここではロシア民謡を歌った。
年に１度だけは夜の興業がある。あとは昼。この日は昼の部と夜の部があった。昼は女性が多く、夜になって４分の１位男性が混じっていた。男声合唱団が組織され、「昴」の合唱となった。みんな上手だった。演歌とは違う。ここの人たちは昔合唱部にいたのでは、と思った。発声がしっかりしていた。
最後は全員で「青い山脈」を歌ってお開きとなった。久しぶりに歌声喫茶を楽しんだ。
公式を利用して因数分解するところで、つっかえる生徒がいる。因数分解といえば展開の逆である。
( x + 1 ) ( x + 2 ) = x ^2 + 3 x + 2 であるから
x ^2 + 3 x + 2 = ( x + 1 ) ( x + 2 )
これが因数分解である、と言われてもなかなか納得してくれない。
今年は一案として
３×４＝１２を例にとった。
１２＝３×４と１２を２数以上の数の積にしたとき、３と４を１２の因数と言う。
１２＝２×６ならこの場面で、２と６を１２の因数という。特に２は素因数である。
すでに平方根のところで素因数分解の意味や有用性を教えてあるので
１２＝３×４と２数の積に分解することの意味はなんとなく分かってくれる。
ここで、 ( x + 1 ) ( x + 2 ) = x ^2 + 3 x + 2 を x = 2 とすると、この等式は
( 2 + 1 ) ( 2 + 2 ) = 2 ^2 + 3×2 + 2であるから
３×４＝１２ という等式になる。ここで
１２を２数の積にすることを考え、 １２＝３×４の場合を考えると
x = 2 のとき、
１２はx ^2 + 3 x + 2
３×４は ( x + 1 ) ( x + 2 )
したがって、x ^2 + 3 x + 2 = ( x + 1 ) ( x + 2 )
ここで、１２＝３×４になぞらえて、
x + 1， x + 2 は x ^2 + 3 x + 2 の因数であると説明した。
また、x = 10 とすると十進法の関係でこんな説明ができる。
( x + 1 ) ( x + 2 ) = １１×１２
x ^2 + 3 x + 2= １３２ となっている。（左辺の係数１，３，２ に注意）
１３２＝１１×１２から
x ^2 + 3 x + 2の因数分解は( x + 1 ) ( x + 2 )であることは納得できるであろう。
こうした「地ならし」をしてから公式を利用した因数分解を教える。
x ^2 + 5 x + 6 = ( x + a ) ( x + b ) で，２数a，bを見つければいい、と教える。
因数分解は展開の逆ではあるが、１つの多項式を２つの因数の積で表すことに
意味や有用性があるのだということを教える必要がある。
また生徒から「先生のブログ見つけた」と言われた。先週は３年生、今回は２年生。「どうやって見つけたの」と聞いたら、一人は私の名前で検索。もう一人は学校名で検索したらヒットしたそうだ。だんだん滅多なことは書けなくなるかな？
中学校の範囲の因数分解は大変中途半端である。ブログでは２乗の表示ができないので、記事を書くのが不自由だ。ここでは２乗を「^2」と約束しておこう。そのつもりで読んでもらいたい。
3^2=3×3=9 ということである。
(x + 3)^2=x ^2 + 6x +9
さて、使える公式はというと、展開公式１～４の逆、１’～４’である。
公式１’ x ^2 + ( a + b ) x + ab = ( x + a ) ( x + b )
公式２’ x ^2 + 2ax + a^2 = ( x + a )^2
公式３’ x ^2 - 2ax + a^2 = ( x - a )^2
公式４’ x ^2 - a^2 = ( x + a )( x - a )
この４つの公式を使って困るのが、x ^2の項にに係数がついてくるタイプ。
例 9x^2+12x+16 というやつ。これは公式２’を使って因数分解するようになっているが、生徒にとっては分かりにくい。公式をたくさん覚えなくてはならないのも不便である。
かつて習った「たすきがけ」を教えればいいのだが、すべて公式１’を利用し、統一して教えることを試みた。
「因数分解の公式なんて、公式１’だけでいいんだよ。」といって、公式１による展開を徹底する。
すなわち、公式１ ( x + a ) ( x + b ) = x ^2 + ( a + b ) x + ab
( x + 2 ) ( x + 3 ) = x ^2 + 5 x + 6
こんなところから始めて、突如
( 3x + 2 ) ( 3x + 4 ) を考えさせる。( 3x )^2 + 6×3x + 8 だから、
9x ^2 + 18 x + 8 これを徹底させる。
その後、公式１’の因数分解を練習し、突如
9x ^2 + 15 x + 4 なんぞを考えさせる。
ここで、「中学校の因数分解は、必ずかっこの左側は同じ文字や式になる」と言う。
すなわち、（●＋△）（●＋□）となる。
9x ^2 + 15 x + 4 = ( 3x + a ) ( 3x + b ) と考えられる。
ab = 4 に注意する。 ( a + b ) ×3x = 15x に注意して、 a + b = 5 を得る。
以上から、２数 １と４を見つけて
9x ^2 + 15 x + 4 = ( 3x + 1 ) ( 3x + 4 )
25x ^2 + 20 x + 3 = ( 5x ) ( 5x ) と考えさせ数を見つければよい。
このタイプの問題を繰り返すと、中学校のどんなタイプも因数分解出来る。
３年の授業がどうも進まない。今の３年の学力が低いせいもあるが、授業時数が少ないらしい。昨年の今頃は２次方程式に入っていたのに、まだ式の利用だ。先が思いやられる。もっとスピードを上げなければ。
もっとも、少人数授業がスタートしたので、一人一人に目をかけすぎて進まないこともある。大人数だと目が届かないので、ある程度見切って進んでしまうからだ。その分は休み時間に廊下で教えて補充したり、放課後補充したりはしているが、無理矢理残して教えるのは好きではないし・・・。困った。急がないと。
といっても、もうすぐ夏休み。休み明けに頑張ろう。
もっとも、少人数授業がスタートしたので、一人一人に目をかけすぎて進まないこともある。大人数だと目が届かないので、ある程度見切って進んでしまうからだ。その分は休み時間に廊下で教えて補充したり、放課後補充したりはしているが、無理矢理残して教えるのは好きではないし・・・。困った。急がないと。
といっても、もうすぐ夏休み。休み明けに頑張ろう。
先日「日輪の遺産」という小説について書いた。良く読んでみたら、著者が新田次郎となっていた。実は新田でなくて浅田だった。「浅田次郎」直木賞受賞作家であった。知らなかった。コーチの薦めで小説を読んだあと、随筆集「勇気凛々ルリの色」を読んだ。面白い。この随筆集シリーズは２冊目を読んでいる。
良く読んでいると「鉄道員（ぽっぽ屋）」の著者だった。あの高倉健主演、広末涼子が出演した映画の原作だ。この作品で彼は直木賞に輝いたという。で、「鉄道員」を買って読んでいる。とまあ、そんな話をコーチとしていたら、コーチは「プリズンホテル」という小説（全４冊）持ってきてくれた。昨日よんでみたら、面白い。とにかく彼の作品は面白い。皆さんに一読をお勧めする。
良く読んでいると「鉄道員（ぽっぽ屋）」の著者だった。あの高倉健主演、広末涼子が出演した映画の原作だ。この作品で彼は直木賞に輝いたという。で、「鉄道員」を買って読んでいる。とまあ、そんな話をコーチとしていたら、コーチは「プリズンホテル」という小説（全４冊）持ってきてくれた。昨日よんでみたら、面白い。とにかく彼の作品は面白い。皆さんに一読をお勧めする。
