規則性の問題４

夏の講習会を手伝ったとき。
確か大阪府の問題だったかとおもう。
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nが自然数のとき、n<√a < n+2 を満たす自然数aの個数を
nの式で表せ。
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n=1 のとき　1< √a <3　だから 1＜a＜9より、a=2,3,4,5,6,7,8でaの個数は8-1=7 

n=2 のとき　2< √a <4　だから 4＜a＜16より、a=5,6,......,15でaの個数は15-4=11 

n=3 のとき　3< √a <5　だから 9＜a＜25より、a=10,11,.....,24でaの個数は24-9=15 

n=4 のとき　4< √a <6　だから 16＜a＜36より、a=17,18,...,35でaの個数は35-16=19 

n=5 のとき　5< √a <7　だから 25＜a＜49より、a=26,....,48でaの個数は48-25=23

・・・・・・・

階差をとれば、4だから、０次式で、求める式は１次関数。

求める個数をmとすれば、m=an+b

階差4ということは、１次関数の変化の割合が4だから、a=4

したがって、m=4n+b

あとは、たとえば、n=3のとき、m=15であるから、代入して

15=12+b よりb=3

m=4n+3が得られる。

実際の解き方は

n<√a < n+2　であるから、n²＜a＜(n+2)²

で、aの個数は{(n+2)²-1}-n²=4n+3