裏技の紹介
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自然数をある規則性にしたがって、並べたものがあります。
一番目は、1、2、3二番目は1、2、3、4、5、6三番目は1、2、3、4、5、6、7、8、9
で、問題用紙には、3ずつ縦に並んでいます。
それで問題ですが、n番目の表に書かれている自然数の全ての合計をnを使った式
で表しなさい。
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裏技の準備として、つぎの数の規則を考える
１、３、５、７、９、１１、１３、・・・
n番目の数を表す式は？
カンのいい人ならすぐ分かる。そう、2n-1
では、この式をカンを使わずに求める方法。
n番目の数をmとして、表を作る。そして、mの隣同士の数の差を求める。「階差」という。
階差が一定で２であることが分かったが、これで
「nが１ずつ増加したとき、mが２ずつ増加している」ということが分かった。
規則性の問題だが、ここで、nをx、mをyと置き換えて読んでみると
「xが１ずつ増加したとき、yが２ずつ増加している」となる。何か思い出したかな？
yがxの１次関数である ということ。
つまりmがnの１次関数。したがって、m=an+bと置き、a, b を求めればいいのだが
階差が２であるということは、変化の割合が２。つまりa=2
m=2n+b
bを求めるには、例えば、
n=2のときm=3 であるから、代入して 3=2×2+b
より、 b=-1
したがって、m＝2n-1 を得る。
この方法を使う。
元の問題に戻ろう。
n=1 １、２、３、
n=2 １、２、３、４、５、６
n=3 １、２、３、４、５、６、７、８、９
n=4 １、２、３、４、５、６、７、８、９、１０、１１、１２
n=5 １、２、３、４、５、６、７、８、９、１０、１１、１２、１３、１４、１５
n=6 １、２、３、４、５、６、７、８、９、１０、１１、１２、１３、１４、１５、１６、１７、１８
とりあえず、数の合計の表を作る。
となり、差２が9で一定になる。差が一定になるまで差を計算するが、高校入試では２段階で終わるのがほとんど。
１段階上の（差１）はnの１次式になる。
（差1）=9×n＋（定数）という１次関数になるので
差1の式が求められるが、ここでは求める必要ない。
性質として次の知識を使う。これは丸暗記すればよろしい。受験だし、裏技なので・・・。
差１はnの１次式となるが、このとき、
「もう１段上の和mはnの２次式になる」ことが知られている。
（高校数学の階差数列のところで説明がつく。後日証明をアップする。）
そこで、
とおいて、
n=1,2,3 m=6,21,45 を代入してやると
6=a+b+c
21=4a+2b+c
45=9a+3b+c
これらを連立方程式として解けば良い。
a=9/2、b=3/2、c=0が得られるので、
以上。高校入試では２次式どまりなので、これで十分。困ったらこの方法を使ってみよう。
で、実は、もっと裏技がある。この方法の簡略形。
つづく
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自然数をある規則性にしたがって、並べたものがあります。
一番目は、1、2、3二番目は1、2、3、4、5、6三番目は1、2、3、4、5、6、7、8、9
で、問題用紙には、3ずつ縦に並んでいます。
それで問題ですが、n番目の表に書かれている自然数の全ての合計をnを使った式
で表しなさい。
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裏技の準備として、つぎの数の規則を考える
１、３、５、７、９、１１、１３、・・・
n番目の数を表す式は？
カンのいい人ならすぐ分かる。そう、2n-1
では、この式をカンを使わずに求める方法。
n番目の数をmとして、表を作る。そして、mの隣同士の数の差を求める。「階差」という。
階差が一定で２であることが分かったが、これで
「nが１ずつ増加したとき、mが２ずつ増加している」ということが分かった。
規則性の問題だが、ここで、nをx、mをyと置き換えて読んでみると
「xが１ずつ増加したとき、yが２ずつ増加している」となる。何か思い出したかな？
yがxの１次関数である ということ。
つまりmがnの１次関数。したがって、m=an+bと置き、a, b を求めればいいのだが
階差が２であるということは、変化の割合が２。つまりa=2
m=2n+b
bを求めるには、例えば、
n=2のときm=3 であるから、代入して 3=2×2+b
より、 b=-1
したがって、m＝2n-1 を得る。
この方法を使う。
元の問題に戻ろう。
n=1 １、２、３、
n=2 １、２、３、４、５、６
n=3 １、２、３、４、５、６、７、８、９
n=4 １、２、３、４、５、６、７、８、９、１０、１１、１２
n=5 １、２、３、４、５、６、７、８、９、１０、１１、１２、１３、１４、１５
n=6 １、２、３、４、５、６、７、８、９、１０、１１、１２、１３、１４、１５、１６、１７、１８
とりあえず、数の合計の表を作る。
となり、差２が9で一定になる。差が一定になるまで差を計算するが、高校入試では２段階で終わるのがほとんど。
１段階上の（差１）はnの１次式になる。
（差1）=9×n＋（定数）という１次関数になるので
差1の式が求められるが、ここでは求める必要ない。
性質として次の知識を使う。これは丸暗記すればよろしい。受験だし、裏技なので・・・。
差１はnの１次式となるが、このとき、
「もう１段上の和mはnの２次式になる」ことが知られている。
（高校数学の階差数列のところで説明がつく。後日証明をアップする。）
そこで、
とおいて、n=1,2,3 m=6,21,45 を代入してやると
6=a+b+c
21=4a+2b+c
45=9a+3b+c
これらを連立方程式として解けば良い。
a=9/2、b=3/2、c=0が得られるので、
以上。高校入試では２次式どまりなので、これで十分。困ったらこの方法を使ってみよう。
で、実は、もっと裏技がある。この方法の簡略形。
つづく
