2006年11月10日の記事を再編集しました。
三角形の内角の和が180度であることを根拠にして、多角形の内角の和を求める授業で、
いつもやることは「百角形の内角の和」
四角形、五角形、六角形、七角形、八角形などの内角の和を調べる。
四角形では、１つの頂点から引ける対角線は１本。
２つの三角形に分かれるので、内角の和は１８０度×２＝３６０度。
(注)なぜ２つの三角形で四角形の内角の和が求められるのかは、
この連載の後にアップ。五角形、六角形も同様。
とりあえず、多角形が三角形に分けられることから、内角の和
が求められるということを、ここでは認めることにしよう。
五角形では、１つの頂点から引ける対角線は２本。
３つの三角形に分かれるので、内角の和は１８０度×３＝５４０度。
六角形では、１つの頂点から引ける対角線は３本。
４つの三角形に分かれるので、内角の和は１８０度×４＝７２０度。
・・・・・・・・・
このあと、おもむろに「百角形の内角の和をもとめましょう。」とやる。
１つの頂点から対角線をひいて多角形を三角形に分割する方法で求めるのだが、
n角形の１つの頂点から対角線をひくと(n-3)本引けて、
(n-2)個の三角形に分割できることはこの段階では生徒は知らない。
「百角形の１つの頂点から対角線は何本引けますか？」
生徒「９７本」
「何で？」
生徒「四角形で２本、五角形で３本、六角形で４本、七角形で５本だから・・・。
頂点の数より３少ないから、百角形で９７本」
「どうして３少ないの？」
生徒「・・・。そうなってるから？！！」
「それでは説明にならないよ。でも、まあいいや。三角形はいくつできるの？」
生徒「９８個」
「よろしい。何で？」
生徒「対角線の数より１多いから」
「どうして１多いの？」
生徒「・・・」
「では、百角形をかきます。かけばすべて分かります！」
生徒「かけるんですか？」
「かけますよぉ。頂点１ね。頂点２ね。こちらは頂点１００。頂点９９。・・・」
こんな具合です。
生徒「かけませんよ。くっつきますよ。」
「大丈夫。君たちは中学２年生ですよね。すると頭の中で８～９５の頂点が見えますね。」
「・・・のところは想像して下さい。」
生徒「えぇ！ずるいよ。ちゃんとかいてよ！」
「ここで、かいてくれないと分からない、というのは小学生。
中学生なら想像する力がありますね。」
こうして、何とか百角形をかくことができました。
つぎは１つの頂点から対角線をひいて三角形をつくります。果たして・・・。（続く）
