方程式の指導３

xは文字だけれど数を表していることを確認させるために。
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８０円切手をx枚買いました。さて、いまxが５であるとします。
このとき
８０切手を何枚買いましたか？
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「５枚」という答えを引き出し、ここまで準備した所で

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８０円切手をx枚買いました。代金をxの式で表しなさい。
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xが３だとします。このとき、何枚買いましたか。代金を求める式は？
・・・・・・
xが７だとします。このとき、何枚買いましたか。代金を求める式は？

x枚買いました。代金を求める式は？
こんなにていねいにやらなくても
　　８０×x
と答えてくれるはず。

８０×５＝４００　とおなじように
８０×x＝８０x　と書くことを教える。


このあとは代入の練習をする。
８０x＝８０×x

x＝３のとき　８０xは何になるかを切手を買う場面
とともに考える。

「このとき」xの値は３になっているから
xのところに３が入れ替わって（代入という）

８０x＝８０×x＝８０×３＝２４０

を教える。

で、ここでの目的は２x＋３という式について考えるため
なので、次は８０x＋１０x、８０x＋１０y、８０x＋１０
の３つの場面を提示する。　

つづく

方程式の指導２

で、いよいよ 2x+3=11 ってなあに？と聞いた。
さっぱり分からないのである。

生徒にしてみれば、　2x+3 がこれ以上簡単にならない式
かどうかも分からないのに
　2x+3=11 つまり　「2x+3 は　11　だ」という訳だから。
　そうなると、2x+3=9 とか　2x+3=15 だなどと言えば
もっと分からなくなる。

　問答の後は文字xを使った式についての復習をした。

　まず「文字は数の身代わりである」ことを教えた。


文字の導入から。

１枚８０円の切手を何枚か買う場面を考える。

８０円切手１枚では代金は８０円。
８０円切手２枚では代金は１６０円

このときの式８０＋８０＝１６０とする
（あえて１６０×２＝１６０とはしない。）

８０円切手３枚では代金は２４０円。
このときの式８０＋８０＋８０＝２４０とする。

８０円切手４枚では代金は３２０円。
このときの式８０＋８０＋８０＋８０＝３２０とする。

・・・・・・・

では、８０円切手９枚では？
８０＋８０＋・・・＋８０＋８０＝？？？

８０が９個

大変だね。うまく計算する方法は？
８０×９と答えれば次へ行く。

そうでなければ２枚のとき、3枚のときへ戻って考えさせ
８０×２、８０×３を導かせる。

かけ算を使うと便利だね。
と、押さえて、特殊な場合として８０×１や８０×０にも触れておく。

いよいよ x だぞ。
xは文字だけれど数を表していることを確認させるために。
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８０円切手をx枚買いました。さて、いまxが５であるとします。
このとき
８０切手を何枚買いましたか？
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ここで「５枚」と答えてくれればいいのだが、答えてくれたときは
xが３だとします。このとき、・・・
xが７だとします。このとき、・・・
・・・・・・・
と聞いて、xは場面によって色々な数を表すことを確認する。

もし５枚と答えてくれないときの対策。
「xっていろいろな数なんだけど謎の数なんだ」
「何かある数になっているんだけど、その時々でいろいろな数になっている」
「いま、今だよ、いま、xが５になってるんだ。このとき」
「このとき、君が神様になって『時間よ止まれ』といって、xの動きを止めたんだ。いまxは何になっているの？」
ここではさすがに「５」というでしょう。言わなかったら同じ質問をゆっくり
繰り返す。
「そう、xは今、５だね」
「では、８０切手をx枚買っているんだけれど、このとき何枚買ったの？」

これで「５枚」と答えてくれるだろう。

文字xというものが数の身代わりであることや、問題の場面が頭に入って
いないと答えてくれないので、図をかいて説明する。

図は次回

つづく

８０円切手x枚の代金をxで表すと・・・。

８０＋８０＋・・・＋８０＋８０
８０がx個の場合ではうまくあらわせないことに触れながら

　　８０×x　という式になることを確認する。


つづく

方程式の指導１

　中学校で方程式が全然分からないという１年生を指導した。
結果は３時から５時の２時間の指導で、方程式の解き方が
分かったようで、目が輝いて来たのだった。

　この生徒を見たことがあると思ったら、先日夏休み宿題テスト
のやり直しのときに教えた生徒だった。

　正の数と負の数でつまずいていたので、トランプ遊びをやり、
指を使って「数え足し」をしていたので、暗算で計算する方法を
教えた生徒だった。

　文字式の基本から、問答を始めることにした。

2x+3=11 という式がどんなことを表しているのか分からないはずだ。
そこで、2x+3xは？と聞くと、5x と答える。
では、2x+3　は？　ときいた所、迷っていた。
ははあやはりそうか・・・。と思ったのだ。

で、いよいよ 2x+3=11 ってなあに？と聞いた。
さっぱり分からないのである。

生徒にしてみれば、　2x+3 がこれ以上簡単にならない式
かどうかも分からないのに
　2x+3=11 つまり　「2x+3 は　11　だ」という訳だから。
　そうなると、2x+3=9 とか　2x+3=15 だなどと言えば
もっと分からなくなる。

　問答の後は文字xを使った式についての復習をした。

つづく

最小公倍数を求める２

１２と１４では一般的ではないので、２４と３６の場合で説明した。

まず２４と３６をかけると、（実は８６４だが計算をしないでおいた）
この数が２４と３６の公倍数となる。
すなわちその数は

２４×３６　　２４の３６倍
３６×２４　　３６の２４倍

である。




この数を２で割ると４３２になるが、
これはふせて「どちらも同じ数で３６の１２倍、２４の１８倍となるでしょ？」ときくと、「はい」


つぎにまだ２で割れるから、割ってあげると
３６の６倍、２４の９倍という公倍数が見つかる。


さらに3で割ることができて
３６の２倍、２４の3倍という公倍数が見つかった。


こうして３６と２４の最小公倍数７２が求まる。

まとめると


縦型の計算では


まず２で割る

２×１８×１２＝４３２





２×２×９×６＝２１６


つぎに３で割る


２×２×３×２＝７２

今度教えるときは、縦型の計算を教えたい。


おわり

ベルリン、国会議事堂

統一ドイツの国会議事堂。

ベルリン市庁舎とテレビ塔。

ベルリン

　ベルリンの壁、壁、壁。そして壁を越えようとした人々は銃殺されたという。
　東ベルリンや東ドイツの支配者の焦りから、多くの人々の自由と人命が失われた。
　社会体制の敗北は始まっていたのだ。犠牲者を弔う碑の列、列。

ドイツ旅行、ドレスデン

ドレスデンのゼンパーオペラ。国立歌劇場か。世界で二番目に古いオーケストラがある。ワーグナーはここの第二代監督だった。

そばを流れるエルベ川。
１０月３日、現地時間およそ１１時ごろ。

ドイツ旅行中

ただ今ドイツを旅行中なのだ。
まずはフュッセン近くの町シュバンガウへ。山の中腹にあるノイスバンスタイン城。
ディズニーランドにあるシンデレラ城のモデルと言われている。
次は世界遺産のヴィース教会。奇跡の涙のキリスト像で有名。

最小公倍数を求める１

　夜の学習教室で、分数の計算をしている生徒が、通分で困っていた。
分母が１２と１４の場合の通分だった。１２と１４の最小公倍数を求めることが要求される。
１２と１４の最小公倍数は８４なのだが、これを見つけるのには
「１２×１４を２で割れば良い」と教えたのだが、首を傾げていた。
最小公倍数を簡単に求めるには縦型の計算、
たとえば
２４と３６であれば

こんなふうに２４と３６の公約数でつぎつぎに割って行けば良い。
このやりかたを知っていれば

　　２）１２　１４
　　　　　６　　７

からただちに　２×６×７＝８４　と求めることができる。
このやりかたを知らないので
「１２と１４をかけて２で割ればいいんだよ」と教えたのだった。

とっさに思ったのは昔教えた方法。

１２×１４＝１６８　でこれは１２と１４の公倍数

８４＝１２×１４　で１２の１４倍
８４＝１４×１２　で１４の１２倍

公倍数であるからこれを通分の分母にすれば良いのだが、もっと小さい数はないかと考える。

１２×１４　と　１４×１２　をそれぞれ２で割ってみる。
すなわち、かける数（右の数）１４と１２をそれぞれ２で割ると

１２×７　と　１４×６　が得られるが、どちらも同じ８４で、

１２の７倍、１４の６倍とわかる。

かける数７と６には公約数は１しかないので、２以上の公約数で割ることはできない。
もっと小さい公倍数はみつからないので、最小公倍数は８４となる。

ここでもし、かけられる数（左の数）１２と１４を公約数の２で割ってしまうと
６×７　７×６　で共に４２になるが、これは１４の倍数ではあるが、
もはや１２の倍数ではない。
すなわち、右の数を公約数で割り続ければよい。

これで何とか納得してくれた。２で１回割るだけなので、一般的ではない。
そこで２４と３６の場合で再び説明した。

つづく

旅行

旅行中なので、ブログの更新をすっかり忘れていた。
バスで次々と移動していたし、パソコンはないわで、
ついうっかりしていた。機会があったら、アップしたいと思う。