お囃子は「発想」

　箕輪囃子五社のお囃子連が集まる研修会に参加。デジタルムービーの録音機能を使って、お囃子を録音したが、電池切れで、三社しか録音できなかった。しかし、謎だった四丁目の入り口がついに分かった。「ピシリ、ヒャライーリ」で始まる四丁目の入り口である。これは収穫だった。

　さて、今日の話題。他社の会長さんにこう言われた。「締め太鼓と笛は決まっているが、鉦と大太鼓は『発想』です。」
　発想とは良い言葉を教わった。
　五社混合の演奏では鉦をたたいた。「だいぶ上達されましたね」とよその社の方から褒められた。自分ではできたとは思っていなかった。要するに「発想」を褒められたのかと思った。お囃子の「発想」は難しい。

式の計算の利用続きの続きの続き（最終回）

「２つの続いた奇数の積に１を加えると４の倍数になる」このことを証明せよ。

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（証明）ｎを整数とすると、２つの続いた奇数は
　　　　 2n-1,2n+1 と表せる。

したがって、２つの続いた奇数の積に１を加えると、

(2n-1)(2n+1)+1=4n^2-1+1=4n^2

n^2は整数であるから4n^2は４の倍数である。

したがって、
２つの続いた奇数の積に１を加えると、４の倍数になる。
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まず証明すべき事柄（命題）を仮定と結論に分けて考えさせる。

仮定は「２つの続いた奇数の積に１を加えると」
結論は「４の倍数になる」

そこで仮定にしたがって、具体例で考えると

１，３　１×３＋１＝４　＝４×１　　４の　１倍→（１の２乗）倍
３，５　３×５＋１＝１６＝４×４　　４の　４倍→（２の２乗）倍
５，７　５×７＋１＝３６＝４×９　　４の　９倍→（３の２乗）倍
７，９　７×９＋１＝６４＝４×１６　４の１６倍→（４の２乗）倍
９，11　９×11＋１＝100＝４×２５　４の２５倍→（５の２乗）倍
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-仮定の部分-＋--結論の部分--＋結論を掘り下げた部分--

こうしておいて、これを文字で表す

2n-1,2n+1 (2n-1)(2n+1)+1=4n^2=4×n^2
n=1 1,3
n=2 3,5
n=3 5,7
n=4 7,9


仮定「２つの続いた奇数の積に１を加えると」
　これを式で表すと(2n-1)(2n+1)+1

計算すると
(2n-1)(2n+1)+1=4n^2=4×n^2

結論「４の倍数になる」

このように、文字式の計算が仮定と結論を具体的につなぐ役割をしていることに気づかせる。

特に「倍数問題」は何倍かまで追求すると証明の仕組みがわかりやすくなる。
「３の倍数になる」なら「３の何倍になってるか？」
「４の倍数になる」なら「４の何倍になってるか？」
「５の倍数になる」なら「５の何倍になってるか？」

というのは「○の倍数になることを証明せよ」という問題の証明は
「○×（整数）」という式に表すことで証明が完結する。
このとき（整数）のところは文字式になるはずだ。この文字式がどんな式になるかを、多くの具体例から推測すると証明の道筋がつかめてくる。

　この例の証明でいきなり奇数は2n-1,2n+1などとかつては指導したことがあったが、生徒にはさっぱりわからなかったようだ。

今までの連載で説明したように、
何を文字ｎで置くのかを明確にしておけば、自然の流れで2ｎ-1、2ｎ+１の発見は容易であろうと思う。

終わり