東大入試に挑戦

gbさんから寄せられた問題。これを解いてみる。（htmlにも挑戦）

 (1)  (2α²+5α-1)²=4α⁴+25α²+1+20α³-10α-4α²=4α⁴+20α³+21α²-10α+1

       

       =(4α+8)(α³+3α²-1)+(-3α³-6α+9)         α³+3α²-1=0 より

=-3α³-6α+9 ・・・（答）

(2) 他の解をβ, γ　とする。解と係数の関係から

α+β+γ=-3,   αβγ=1 より

β+γ=-3-α,   βγ=1/α

      ここで、α³+3α²-1=0, 題意よりα≠0であるから両辺をαで割れば、

α²+3α-1/α=0  であるから、1/α=α²+3α

 

     したがって、β+γ=-(α+3),   βγ=α²+3α

よって、β, γは t についての２次方程式  t²+(α+3)t+(α²+3α)=0

  　の２解である。

  t=1/2(-α-3±√-3α³-6α+9)

ところで、(1)より(2α²+5α-1)²=-3α³-6α+9　であるから、

±√-3α³-6α+9=±2α²+5α-1   

これより、

   t=1/2{-α-3±(2α²+5α-1)}から

他の解はそれぞれ α²+2α-2,  -α²-3α-1　・・・（答）

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(1)を使って、(2)の開平ができるしかけになっている。

この方法で、神戸大のg(x)=x²-2が導けないものかとやってみたが、

開平がうまく行かない。