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「６個のさいころを３つずつ両手に持って投げたとき、左と右とで同じ目が出る確率ってどうなるの？」
要するにこういうことだ。
「６個のさいころを３個ずつ同時に投げるとき、３個ずつの目の組み合わせが同じ確率を求めよ」
このような目の出方は・・・。
ということだ。
実際に考えてみると、結構難しいことが分かった。
そこで、問題を簡単にして考えることにした。
第１段階 さいころが２個、つまり１個ずつ投げるとき、出た目が同じになる確率。
第２段階 さいころが４個、つまり２個ずつ投げるとき、２個ずつの出た目の組み合わせが同じになる確率。
第３段階 さいころを６個、３個ずつ同時に投げて、３個ずつの出た目の組み合わせが同じになる確率。
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まとめに入ろう。
左右の目のそろい方で
(1) ３個とも同じ目の場合
(2) ２個が同じ目の場合
(i) 同じ２個の目が他の１個より大きい場合
(ii) 同じ２個の目が他の１個より小さい場合
(3) ３個とも異なる場合
に分けて考える。
(1) ３個とも同じ目の場合 全部で６通り
左{1, 1, 1}, 右{1, 1, 1}
左{2, 2, 2}, 右{2, 2, 2}
左{3, 3, 3}, 右{3, 3, 3}
・・・・・・
左{6, 6, 6}, 右{6, 6, 6}
(2) ２個が同じ目の場合
(i) 同じ２個の目が他の１個より大きい場合
(ii) 同じ２個の目が他の１個より小さい場合
(i) について考える。a < b とすると
左{a, b, b}, 右{a, b, b}という組み合わせだが、これに順をつけて考えると
順をつけるときは ( )の記号を使うことにする。
左(a, b, b), 右(a, b, b)
左(a, b, b), 右(b, a, b)
左(a, b, b), 右(b, b, a) というように、左(a, b, b)に対して、右の順が３通り。
左の順も右と同じように(a, b, b), (b, a, b), (b, b, a) と３通りであるから
(i) について ３×３＝９通り。
(ii) についても同様に９通り。
(2) ２個が同じ目の場合、a < b の組み合わせがひとつ決まると、それに対して
(i)の場合で９通りの順列
(ii)の場合で９通りの順列
が考えられる。
組み合わせ {a, b} を簡単のためにabで表し、組み合わせの数を調べると
a < b に注意して
12 13 14 15 16
23 24 25 26
34 35 36
45 46
56
の15通りとなる。したがって、(i)(ii)の場合それぞれで、１５×９＝135 通りずつであるから、
(2) ２個が同じ目の場合は全部で 135×２＝270 通り。
(3) ３個とも異なる場合
a < b < c として、一つの組み合わせは、いくつの順列が重複したものかを調べる。
左{a, b, c}, 右{a, b, c}
左は３つのものを並べる順列の数だけあるから ３！＝６通り
右も同様だから６通り。
したがって、１つの組み合わせ{a, b, c} では６×６＝３６通りの順列がある。
a < b < c として、組み合わせを数える。{a, b, c} を abc とかくことにする。
123 124 125 126
134 135 136
145 146
156
234 235 236
245 246
256
345 346
356
456
２０通りであった。
したがって、(3) ３個とも異なる場合の順列すなわち目の出方は
２０×３６＝720通り
まとめると、
(1) ３個とも同じ目の場合 全部で６通り
(2) ２個が同じ目の場合 全部で270通り
(3) ３個とも異なる場合 全部で720通り
合計９９６通りである。
したがって、求める確率は ９９６／４６６５６ ＝ ８３／３８８８
ということでした。
