この夏の目標は？

　８月も１１日となった。いつもなら夏休みが半分過ぎて、少しばかり寂しくなってくるころだが、今年はずーと夏休み。ほとんど自宅で数学の問題を解いている生活。この夏休みの目標は何にしようか。

ブログをやっていて偶然gbさんのコメントに触れた。はじめは連分数の話題かと思ったら、いつのまにかガロアの理論の話しになっていた。

  連分数の話題も、gbさんのおかげで、メビウス変換なるものを知り、次へのステップにと、初等整数論をちょっとだけかじっているうちに、コメントの上ではガロアの理論に話しが進んだ。gbさんのコメントがガロアの理論満載になってきたのだ。

  というわけで、この夏休みはガロアの理論の学習で行こうと思っている。

昨日は女房と一緒に日本橋三越に出かけた。ついでに高島屋へも寄った。久しぶりの日本橋だった。デジカメ持って行けばよかったと後悔している。さて、日本橋と言えば高島屋前にある「丸善」。ここへは高島屋へ行くたびに立ち寄ったものだ。かつては７階くらいまで書籍売り場だったのだが、現在は縮小。４階くらいまでしが売り場はない。３階に数学書があったので、２冊ガロアの理論に関する本を購入した。

  １冊はアルティンの「ガロアの理論」寺田文行訳。筑摩学芸文庫から復刊されたもの。この原本は1975年に発刊になっていて、教員になってから購入した。原本に多少誤植があったが、文庫本では校正されていた。文庫本はTeXで書かれていた。1260円。

  もう１冊は「代数方程式のガロアの理論」新妻弘訳。原本はGalois' Theory of Algebraic Equations

  例が具体的で面白そうだった。3360円。どちらもデジタルTVを買ったときのエコポイントでもらった商品券で購入。

 今年の夏ももう終わりそうだが、残りの半月余りは、ガロアの理論でがんばろう。

Canbeは無事だった

  昨日から寝付かれなかった。Canbe(NECのデスクトップパソコン)環境が壊れた。ハードディスクが壊れたということが気になった。

  待てよ・・・。起動画面でハードディスクが認識されていなかった。昔のパソコンのハードディスクはSCSI接続だったので、SCSIボードがハードディスクを認識するところが起動画面に出る。もしかしたらケーブルの接続不良かな、と思った。

  今朝確認したところ、その通りハードディスクに接続するコネクターがゆるんでいた。で、起動。SCSIボードはハードディスクを認識した。ハードディスクは無事。昔の環境が戻った。

Canbeの環境

  15年前に購入したNECのデスクトップパソコンの環境がだめになった。

  デスクトップパソコン自体は壊れていなかったのだが、あとからSCSI接続した２つのハードディスクが故障しているらしい。昨年は動いていたのに・・・。このハードディスクの容量は1GBと4GB。当時としては思い切って買ったものだった。NECの仕様ではWindowsはどのドライヴからでも起動できたので、いろいろな環境を楽しんだものだった。Windows95だった。

ハードディスクはしばらく電源を入れてないと壊れるというのは本当だった。また電源を入れ直して、いつの日か動くのを夢見るしかないか・・・。

モニター交換

購入してから15年になるモニターは何度叩いても画面は変らず、壊れたらしい。ということで、モニターを交換した。今はモニターと言わず、ディスプレイと言うらしい。購入したのは今はやりの「液晶ディスプレイ」。早速交換した。きれい、画面が横に広い。接続してパソコンを起動したら、すぐに認識して、横幅の広い画面になった。

これでこれからはストレスなく、ブログも書ける。

東大入試に挑戦

gbさんから寄せられた問題。これを解いてみる。（htmlにも挑戦）

 (1)  (2α²+5α-1)²=4α⁴+25α²+1+20α³-10α-4α²=4α⁴+20α³+21α²-10α+1

       

       =(4α+8)(α³+3α²-1)+(-3α³-6α+9)         α³+3α²-1=0 より

=-3α³-6α+9 ・・・（答）

(2) 他の解をβ, γ　とする。解と係数の関係から

α+β+γ=-3,   αβγ=1 より

β+γ=-3-α,   βγ=1/α

      ここで、α³+3α²-1=0, 題意よりα≠0であるから両辺をαで割れば、

α²+3α-1/α=0  であるから、1/α=α²+3α

 

     したがって、β+γ=-(α+3),   βγ=α²+3α

よって、β, γは t についての２次方程式  t²+(α+3)t+(α²+3α)=0

  　の２解である。

  t=1/2(-α-3±√-3α³-6α+9)

ところで、(1)より(2α²+5α-1)²=-3α³-6α+9　であるから、

±√-3α³-6α+9=±2α²+5α-1   

これより、

   t=1/2{-α-3±(2α²+5α-1)}から

他の解はそれぞれ α²+2α-2,  -α²-3α-1　・・・（答）

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(1)を使って、(2)の開平ができるしかけになっている。

この方法で、神戸大のg(x)=x²-2が導けないものかとやってみたが、

開平がうまく行かない。

夏期講習手伝い２

実は15-8の計算の前に、7+8という場面が」あったのだが、指導のときの方程式を記録していなかったので、ここでは紹介できない。その方程式を解く場面だったか、検算の場面だったか、指導を始めた直後あたりに8+7の計算をする場面があった。

この生徒は少し戸惑っていた。繰り上がりの計算でつまずいている典型の生徒であった。「指を使って数えて答えをだしていなか？」と聞くと、その通りだった。正負の数がおぼつかない生徒のほとんどが繰り上がり繰り下がりの計算でつまずいている。
正負の数でつまずいている原因は以前にアップしてある。ここを。

もどって、8+7を教える。
繰り上がりが分かってないから、まず８は１０より２少ないということを気づかせる。
T「８は１０よりいくつたりない？」
S「２」
T「８にあと２があれば１０になるね。その２を７からもらうんだ。」
S「・・・」
T「７から２もらう。その２を８にあげると１０になるけど、７のほうはあといくつ残っている？」
S「・・・」
T「つまりね」（板書する）

８＋７　　　　
８←２もらう　　８＋２
７→２あげる　　２＋（のこり）
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
８と７ぜんぶでいくつ？
７から２あげたのこりがわかればいい。

S「５」
T「だから８＋７はぜんぶで」
S「１５」
T「正解！」

８は１０より２不足しているから、１０に対してー２の働きがある、と教える。
８＋７＝（１０−２）＋（２＋５）という計算を暗算でやる。足し算なんだけど足したり引いたりしているんだよということを知らせる。
指を使わずに８＋７＝１５をイメージさせる。

暗算の指導を通じて、不足がマイナスで過剰がプラスであることを知らせる。
つまり、正負の数を直接教えるのではなく、正負の数にある「過不足」の考え方を教えながら、繰り上がり繰り下がりの計算の復習をさせるのだ。

正負の数の指導にはトランプで教えたりする実践例があるが、昔からトランプ遊びでも分からない生徒の存在に気づいていた。なぜ分からないのか、当時の私にはその原因が分からなかった。
ヘリウムを入れた風船におもりをつける実験などで補充をしたこともある。３０年余り教えた末、たどりついたのは、繰り上がり繰り下がりの計算ができないことが原因だと知ったこと。
繰り上がり繰り下がりの計算ができずに、数えたしをする生徒が正負の数もわかっていないということだった。はじめは知能が低いからで片付けていたが、そうではなかった。「過不足」の概念が希薄だったのだ。退職する２年ほど前にやっと分かった。今となってはもう遅いのだが、研究不足を恥じる。

繰り上がり繰り下がりの計算を通して、過不足の感覚や概念を持たせ、正負の数の計算ができるようにする指導が必要だったのだ。









 

画面が不調

MacパソコンのiBookの液晶画面の調子が悪くなった。以前から症状は出ていたが、液晶画面にちらつきが出たり縞模様や色がおかしくなったりする。買ってから10年は経っているいよいよお陀仏か・・・。

Mac miniに使っているモニターも相変わらず不調。これはNECのCanBee付属のモニターだが、最近ではいきなり真っ赤な画面。こいつを思いっきり本を使って叩くと、こんどはピンクの画面になる。ピンクの画面になったのは初めてで、ますますやばい。また叩くと青い画面。もう一度叩くとやっと正常な画面。でも今はまた青い画面で編集中。

そこで・・・。正面から３回叩いてやっと正常な画面。と思ったらまた青くなった・・・。最近児童虐待が報道されているが、毎日モニターの「虐待」をしている。いつかこの報いがやってくることだろう。

 

　早くも虐待の効果が現れ、ついに画面はピンク色からいくら叩いても正常にはならなかった。新しい液晶モニターを購入するときがきたのかも・・・。

　現在ノートパソコンでアップ中。プリンターをつないでないので、コメントなど記録できず不便。
　gbさんの質問やコメントは皆さんで見ていて下さい。

数学２、数学B 第１章終わり

昨日アップしたはずの記事。

デスクトップパソコンのモニターが不調だったので、アップに失敗した。

数学２の第１章が終わった。式の計算と方程式の章なのだが、分数式や３次方程式などがあった。３次方程式はもちろん因数分解で解けるやつだが、因数定理や解の公式で解が虚数になるのもここで習うようだ。かつては数学１ですべて習ったものだが、１年で２次方程式の解の公式、２年で因数定理や判別式という具合に学習事項が分かれているのはなぜだろう。学習の効率が落ちるような気がする。

数学２の第１章が終わったので数学Bの学習に入った。第１章は「数列」苦手な分野だが現在挑戦中。

 

　と思ったら、いつのまにか、数学Ｂの第１章数列の単元も無事終わった。

等比数列の和の所で失敗が多かったようだ。

　次は数学２「図形と方程式」。直線や円の方程式などの復習。

 

htmlに挑戦

記事に表を書いてみると、レイアウトがくずれる。スペースを入れて字の間隔を調整しようとしてもうまくいかない。そこでhtmlで表を作ったりするのだが、これが結構厄介。

ブログの編集機能に表作成があればよいのだが、html言語で書くしかない。

がんばって表を作るのに慣れなくては・・・。

「式による説明」の記事では表を作らないとうまく記事が書けない。

 

	n	n+1	n+2	n+3	n+4	和
n=1	1	2	3	4	5	1+2+3+4+5
n=2	2	3	4	5	6	2+3+4+5+6
n=14	14	15	16	17	18	14+15+16+17+18
n=21	21	22	23	24	25	21+22+23+24+25

こんな感じで表を作ってみたけれど・・・。

夏期講習手伝い

　夏期講習２年数学。ちょうど連立方程式の解き方を復習しているところ。だが、夏期講習に来る生徒の中に、正負の数の計算もおぼつかない生徒がいるというので、その生徒を別室で担当した。　退職する前には、この学年の生徒も教えたのでよく知っている生徒だった。

１次方程式の復習からということで、指導を開始。姉に聞きながらプリントを解いてきた。よく見ると移項や計算がまったく不安定であった。

　合っているかどうか見てくれ、というので、すぐに○×をつけないで、解の確認の方法を教えた。左辺と右辺のxに数を代入する。
例えば、
　5x-8=2x+1　で、x=1と答えを出したのであれば、x=1を代入して
左辺は5×1-8=5-8=-3
右辺は2×1+1=2+1=3
左辺=右辺、となっていないので間違っている。

　この5-8の計算にも注意を払う。5-8=-3もあやふやだった。
まずは「項の意識を」もってもらう。5-8=5+(-8)であることを確認する。

この生徒の答案例（実際の答案とは違っているかもしれないが、こんなだった）

5x-8=2x+1
5x+2x=8-1 つまり「移項」がめちゃくちゃ。符号もめちゃくちゃになっている。
7x=7
x=1
　　
　　-8の移項の位置が=の直後に来ていたのは式の計算との混同がある。
　以降を意識していれば、右辺の式の後ろに移項するはず。

　ということで、まず「移項」をするには「項の意識」が大事だと教える。
　次に「移項するときは符号が変る、符号を変えて項をうつす、これは暗記する。」
　理屈の前に「暗記、手順」を強調した。正負の数の意識がない生徒に理屈を教えても理解できないからだ。

　で、やってみる。
　5x-8=2x+1
2xが左に移るので、符号を変える-2x　
-8が右に移るので、符号を変える+8

　この生徒は
　5x-2x=+8+1 とやったが、ここはだまって認めてやる。
　 4x=9
になったりする。xが文字ではなく1かなんかの数だと思ってしまうらしい。
　そこで
「xは単位のようなものだ。たとえば2x+3xは２円＋３円＝５円みたいなもので、2x+3x=5x」と教える。
　いささか乱暴でもよい「感覚的に処理できるように」教える。
　授業ではこんな教え方はしない。あくまでも「補充教室」での話。
　というわけでやっと
　　　3x=9となり　x=3がでる。
このあと検算をする。x=3を代入。
左辺は　5×3-8=15-8=?????
さてこの生徒は15-8ができない！
どう教えるか・・・

つづく