三年生にラストレッスン

　都立入試が終わり三年生のラストレッスンをした。三年生担当の先生の数学の授業はまだあるが、少人数制で他学年応援隊の私のラストレッスン。
　一応、単独クラスで大人数授業。
　内容は高校で学ぶ数学の紹介。特に方程式に絞って、数学の話題を話した。もちろんプリントを用意した。

まず、x^3-1=0 を解いてごらん。
生徒「x=1」

他のは？
「・・・」

普通は　x^3-1 の因数分解をするね。
実はこうなります。

x^3-1=0
左辺を因数分解すると
(x-1)(x^2+x+1)=0

この因数分解は展開してみたら正しいことがわかるし、
高校で習う因数分解の公式で因数分解する。
（因数分解の公式はプリントして紹介）

実はこうする。

x^3-1=x^3-x^2+x^2-1
で、前２つと後２つに分けて因数分解すると

=x^2(x-1)+(x-1)(x+1)

(x-1)という共通因数が出てきます。これをMとおいて

=x^2M+M(x+1)
=M(x^2+x+1)
=(x-1)(x^2+x+1) でもって因数分解完了です。

　高校の数学を勉強する上でのポイントは、
「一応そのまま受け入れる」ことです。
何でこんなことするのか？と思うとそこに引っかかって、授業のテンポに
遅れてしまいます。

などとお話をした。

その前にプリントに高校で習う展開と因数分解の公式を紹介。
x^3-1の因数分解は
(a-b)(a^2+ab+b^2)の展開公式の逆を使うのだが、公式を使わなくても
上に紹介した方法で因数分解できると説明。

公式には
(ax+b)(cx+d)=acx^2+(ad+bc)x+bd も紹介。
「塾で習った人もいると思うけど、たすきがけというやつだよ」と言うと、
思い出したような、納得したような顔をする生徒もいた。

(a+b)^3=a^3+3a^b+3ab^2+b^3 などを見たのか難しそうな顔をしていた。

得意になって
(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=a^3+b^3+c^3-3abc
もプリントに載せ、その因数分解の方法まで載せたが、あとで調べてみると
大学受験では使うものの、教科書には「公式」としてはなかった。

話しは戻って、とりあえず
方程式 x^3-1=0 を解く。

左辺を因数分解すると
(x-1)(x^2+x+1)=0

したがって
x-1=0 または x^2+x+1=0

よって、
　x=1 または x^2+x+1=0

ここで　x^2+x+1=0　から２つの解が得られるが
実は・・・とやる。
x^2+x+1=0 の左辺は因数分解できないから「解の公式」を使って
解く。
ところが「解の公式」は覚えてない生徒が多い。
授業では扱っているが「発展課題」ということだったからだ。

　そうだと思って、プリントには「平方完成」の方法で解いたものを
紹介しておいた。

（つづく）