正五角形の探求－３

半径１の円に内接する正五角形の頂点の座標から，円周等分方程式
x^5-1=0 の５つの解が得られます。

図１


　そのために，図１を９０度回転させて，座標軸を入れます。

図２


ここでBの座標を求めましょう。Bの座標が求まると，点Bが表す複素数が
求まりますから，円周等分方程式の１つの複素数解が分かります。

Bからx軸に垂線BGを引くと，

△AFO≡△BGO（直角三角形の斜辺と１つの鋭角）
　　　（∵∠F=∠G=９０度　斜辺OA=OB ∠Oは共通）

したがって，図２のように，OG=a, GA=b

a=(sqrt(5)-1)/4

BG^2=OB^2-a^2=1-{(sqrt(5)-1)/4}^2=(10+2sqrt(5))/16
BG>0
BG=sqrt(10+2sqrt(5))/4

したがって，x^5-1=0の解のうち，点Bが表す解は

(sqrt(5)-1)/4+i*sqrt(10+2sqrt(5))/4　となる。

数学表記ができる「hatenaブログ」にアップする予定です。