自然数の４乗和

　今、自然数の４乗和について調べている。ネットには結果が出ているが、何とか自力で調べて公式を見つけたいと思っている。

まず、１乗和　1+2+3+・・・+n=n(n+1)/2
２乗和　1^2+2^2+3^2+・・・+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
３乗和　1^3+2^3+3^3*・・・+n^3={n(n+1)/2}^2

ここまでは高校の教科書にある。

さて、４乗和　1^4+2^4+3^4+・・・+n^4=？

一般に自然数の累乗和にはベルヌイ数などというものが出てくるそうである。

むずかしいことはさけて、とりあえず４乗和を計算する。
和の公式が複数の１次式や２次式などの積になるだろと予想して、和の素因数分解も調べてみた。


n------和------------和の素因数分解
---+-------------+-----------------------
1--------1------------1　　
2-------17------------17
3-------98 -----------2*7*7
4------354----------- 2*3*59
5------979 ----------- 11*89

6-----2275 ----------- 5*5*7*13
7-----4676 ----------- 2*2*7*167
8-----8772 ----------- 2*2*3*17*43
9----15333 ----------- 3*19*269
10----25333 ----------- 7*7*11*47

11----39974 ----------- 2*11*23*79
12----60710 ----------- 2*5*13*467
13----89271 ----------- 3*3*7*13*109
14---127687 ----------- 7*17*29*37
15---178312 ----------- 2*2*2*31*719

16---243848 ----------- 2*2*2*11*17*163
17---327369 ----------- 3*7*7*17*131
18---432345 ----------- 3*5*19*37*41
19---562666 ----------- 2*13*17*19*67
20---722666 ----------- 2*7*41*1259

これぐらいデーターを集めてみた。さて、このあとどうやったら４乗和の公式を導く事ができるのだろうか？

続く