正五角形の探求－１

　正五角形を探求してみましょう。


　まずは、１辺の長さが与えられたとき、コンパスと定規を使って、正五角形を作図することから始めたいと思います。とりあえず１辺の長さを1とします。

　作図するには、辺CDの垂直二等分線上に点Aがありますから、この点の位置を作図で求めれば良いわけです。




　そのためにACの長さを求めます。AC=x とします。


図のようにAC、BEを結び、その交点をFとします。
すると正五角形の性質から　△BCA∽△FAB となります。
（理由：△BCAは二等辺三角形。頂角は正五角形の内角で108度。底角∠BAC=∠BCA=36度
△ABEでも同様に∠ABE=AEB=36度。したがって△FABで∠FAB=∠FBA=36度であるから、
△FABは二等辺三角形。底角がそれぞれ等しいので△BCA∽△FAB）

そのほか，△CBFと△EAFは合同な二等辺三角形ですから，図のように

BF=AF=x-1 となります。

BC:FA=CA:AB より

1:(x-1)=x:1

x(x-1)=1

x^2-x-1=0
これを解いて
x>0を考慮し
x=1/2(1+sqrt(5))

AC=1/2+sqrt(5)/2 であることが分かりました。

このACの長さををどうやって作図で求めるのかですが、

CDの垂直二等分線を引けばで1/2はつくることができます。
図のようにMN=CDとして，CDの中点Mから1の長さをとれば、
MN=1，CM=1/2 となり，

三平方の定理からCN=sqrt(5)/2 ですから、

あとはこのCNにCMを加えれば良いわけです。
（NF=CM=1/2）

CFがその長さとなり，CA=CFとなるように点Aをとります。

こうして、点Aが決まりました。



あとは、A， C，Dを中心として半径1 の円をかけば
交点B，E が得られます。

良かったら，正五角形を作図してみて下さい。

次は、半径1 の円に内接する正五角形を作図してみます。

（続く）