自然数の４乗和－５

　中学生にも分かるように自然数の４乗和を求めることを追求。

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自然数の４乗和
自然数の４乗和－２
自然数の４乗和－３
自然数の４乗和－４

　ネットで調べてみたところ、自然数の２乗和は、３乗の差で求める方法もある。
高校のころの教科書にあったのを思い出した。こうだ。

　３乗の差　　　　第１項　第２項　第３項
　(n+1)^3-n^3 = 3n^2 +3n +1
n^3-(n-1)^3 = 3(n-1)^3+3(n-1)+1
(n-1)^3-(n-2)^3=3(n-2)+3(n-2)+1
・・・・・・・・・・・・・
　4^3-3^3 = 3*3^2 +3*3 +1
3~3-2^3　= 3*2^2 +3*2+1
2^3-1^3 = 3*1^2 +3*1+1
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これらｎ行の和を計算すると

(n+1)^3-1=（第１項の和）＋（第２項の和）＋（第３項の和）

シグマ記号を使わないで説明すると
（第１項の和）＝３×（自然数の２乗和）
（第２項の和）＝３×（自然数の和）=3*n(n+1)/2
（第３項の和）＝n

以上から、自然数の２乗和をSとおくと
(n+1)^3-1=3S+3*n(n+1)/2+n
これをSについて解く。

左辺を計算。
n^3+3n^2+3n=3S+3*n(n+1)/2+n

3S=n^3+3n^2+3n-3*n(n+1)/2-n

両辺を２倍
6S=2n^3+6n^2+6n-3n(n+1)-2n
6S=2n^3+3n^2+n
6S=n(2n^2+3n+1)=n(n+1)(2n+1)

したがって、　S=n(n+1)(2n+1)/6

これはやや技巧的だったので、私はあまり好きではなかったのだ。