自然数の４乗和－６

　自然数の２乗和までは終わったので、３乗和を考える。
これは簡単、なぜなら・・・。

1^3=1
1^3+2^3=9
1^3+2^3+3^3=36
1^3+2^3+3^3+4^3=100
1^3+2^3+3^3+4^3+5^3=225
・・・・・・・・
となれば、察しがつくはず。

1^3=1=1^2
1^3+2^3=9=3^2
1^3+2^3+3^3=36=6^2
1^3+2^3+3^3+4^3=100=10^2
1^3+2^3+3^3+4^3+5^3=225=15^2
・・・・・・・・

ここで右辺に表れた1, 3, 6, 10を調べてみることにする。
隣同士の差が2, 3, 4, となっていることから

n=1 のとき 1
n=2 のとき 3=1+2
n=3 のとき 6=1+2+3
n=4 のとき 10=1+2+3+4
と予想がつく。

でここから、
1^3=1=1^2
1^3+2^3=(1+2)^2=3^2
1^3+2^3+3^3=(1+2+3)^2=6^2
1^3+2^3+3^3+4^3=(1+2+3+4)^2=10^2
1^3+2^3+3^3+4^3+5^3=(1+2+3+4+5)^2=15^2
と分かるから、以下

1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3=(1+2+3+4+5+6)^2=21^2
1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+7^3=(1+2+3+4+5+6+7)^2=28^2
1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+7^3+8^3=(1+2+3+4+5+6+7+8)^2=36^2

と考える。電卓で容易に確認できる。

で、結局
1^3+2^3+3^3+・・・+n^3=(1+2+3+・・・+n)^2={n(n+1)}^2

中学生には証明はいらないだろう。Excelで確認すればよい。

高校生なら、数学的帰納法が合っている。

つぎに４乗和を求めることにする。