収束の速さ比べ

gbさんからの質問３に答えることにする。

それは 　x₁=1, x_n+1=(ax_n+b)/(cx_n+d) という漸化式で,

x₁=1, x_n+1=(3x_n+4)/(2x_n+3) よりも

  √2 にもっと速く収束するものを求める、というものだった。

結果を示す。

f_n(x_n)=(ax_n+b)/(cx_n+d)

f₁(x_n)=(x_n+2)/(x_n+1)

f₂(x_n)=(3x_n+4)/(2x_n+3)

f₃(x_n)=(7_n+10)/(5x_n+7)

f₄(x_n)=(17x_n+24)/(12x_n+17)

f₅(x_n)=(41_n+58)/(29x_n+41)

f₆(x_n)=(99x_n+140)/(70x_n+99)

f₇(x_n)=(239x_n+338)/(169x_n+239)

各函数の作り方は

f₂(x_n)=f₁((f₁(x_n))=f₁((x_n+2)/(x_n+1))

f₃(x_n)=f₂((f₁(x_n))=f₂((x_n+2)/(x_n+1))

・・・・・・・・・・・・・

それぞれの収束の様子を表にすると

数は計算回数

すなわちnの値

√2 =1.414213562373095048801 で小数点以下20桁。

「小数点以下一致桁数」は x₂₀ の値。

「10桁一致」は　1.4142135623　に一致するまでのnの値

「20桁一致」は　1.414213562373095048801に一致するまでのnの値

函数	小数点以下一致桁数	10桁一致	20桁一致
(xn+2)/(xn+1)	14	14	×
(3xn+4)/(2xn+3)	30	7	14
(7xn+10)/(5xn+7)	46	5	9
(17xn+24)/(12xn+17)	61	4	7
(41xn+58)/(29xn+41)	75	3	6
(99xn+140)/(70xn+99)	92	3	5
(239xn+338)/(169xn+239)	107	2	4

取り急ぎ作成したので、数に多少のずれがあっても勘弁願いたい。

下の函数ほど収束が速いことが分かる。

各関数はf₁(x_n)=(x_n+2)/(x_n+1)から導かれるが

関数f₁の導き方については後日アップする。