TakaPの数学日記

数学を教えていて感じたことや日常の感想などを記録しました。

訂正

2010年07月30日 16時01分03秒 | 数学
記事に誤りがあった。
神戸大学の問題のg(x)で、g(g(x))の式が違っていた。
記事ではg(g(x))=-x2-x+1となっていたが、
正しくはg(g(x))=-x2-x+2

以下訂正記事
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x3-3x+1=0 を解いてみたら、1つの実数解は 2cos40°  
あと2つは角度が120度ずつ増えて、2cos160°, 2cos280°=2cos(-80°)=2cos80°
結局問題のα123は、2cos160°,2cos80°,2cos40°だと分かった。
この方程式の3つの実数解は虚数の立方根などからなる複雑な式で表される。
「還元不能」であると言われる。
gbさんの言う、「神戸大の師に倣い背景を見抜き」というのはこういうこと?
cosの2倍角の公式より、cos2θ=2cos2θ-1
α1=2cos160°=2cos(2・80°)=2(2cos280°-1)=4cos280°-2=(2cos80°)2-2=α22-2
この式から題意のg(x)=x2-2 と推察される。
実際、g(α2)=α22-2=α1
また、g2(x)=g(g(x))を求め簡単にして下さい、とは
g2(x)=g(g(x))=g(x2-2)=(x2-2)2-2=x4-4x2+2=x(x3-3x+1)-x2-x+2
であるから、x=αを代入して、f(α)=0より、
g2(α)=α(α3-3α+1)-α2-α+2=αf(α)+(-α2-α+2)=-α2-α+2
これより、g2(x)=-x2-x+2
さらにg3(x)=g(g(g(x)))=(-x2-x+1)2-2=x4+2x3-3x2-4x+2=(x+2)f(x)+x
であるから、x=αを代入して、f(α)=0より、g3(α)=α
これより、g3(x)=x となりg3(x)が最も簡単な式である。
以下、g4(x)=g1(x), g5(x)=g2(x), g6(x)=g3(x), ・・・より
gn(x)でn=3,6,9,・・・が簡単な式となる。
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失礼しました。

コメント (1)
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