点Pがそれ以外の位置にあるとき、すなわち∠APBの辺APかBPが中心角∠AOBの辺OAやOBと交わる時は上の理屈は
あてはまらない（下図）
教科書では下図のように補助線POを引き、円との交点をCとして、
∠APB＝∠APCー∠BPC
ここで
∠APC＝∠AOC/２
∠BPC＝∠BOC/２
であるから
∠APB＝∠APCー∠BPC＝∠AOC/２ー∠BOC/２＝（∠AOCー∠BOC）/２＝∠AOB/２
これより
∠APB＝∠AOB/２ を導いている。
これが結構生徒には分かりにくい。
ではどうするか。
授業では、上の分かりにくい説明はカットし、とりあえず円周角は中心角の半分と教える。
同じ弧に対する円周角は一定であると認めさせる。これでだいたいの生徒はOKである。
なぜならこの頃は１月で受験待ったなしなので、難しいことを考えるより、問題演習で正解を
出した方が良いからだ。数学教育からは離れているが・・・。
それで個別指導で、つまづいている生徒には次のように教えた。（下図）
APと平行にBから平行線を引いて円との交点をCとする。OCとOBを結んでおく。
平行線の錯角は等しいから
∠APB＝∠PBC である。
ここで∠PBCは∠POCの半分と分かる。∠PBCの辺と∠POCの辺が重なっていないからだ。
ところで、APとBCは平行だから円の対称性によって、弧ABと弧PCの長さは等しい。
（これは結構認めてくれる。証明しようと思えばできる）
よってその中心角は等しいから
∠POC＝∠AOB
したがって
∠APB＝∠PBC＝∠POCの半分＝∠AOBの半分
実際の演習問題の中では角度が明示されているから、上のような平行線を引いてやって、角度を示して
説明し定着を図れば良い。
一応終わり。
