規則性の問題２

裏技の紹介

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自然数をある規則性にしたがって、並べたものがあります。

一番目は、1、2、3二番目は1、2、3、4、5、6三番目は1、2、3、4、5、6、7、8、9
で、問題用紙には、3ずつ縦に並んでいます。

それで問題ですが、n番目の表に書かれている自然数の全ての合計をnを使った式
で表しなさい。
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裏技の準備として、つぎの数の規則を考える
１、３、５、７、９、１１、１３、・・・
n番目の数を表す式は？

カンのいい人ならすぐ分かる。そう、2n-1
では、この式をカンを使わずに求める方法。

n番目の数をmとして、表を作る。そして、mの隣同士の数の差を求める。「階差」という。


階差が一定で２であることが分かったが、これで
「nが１ずつ増加したとき、mが２ずつ増加している」ということが分かった。

規則性の問題だが、ここで、nをx、mをyと置き換えて読んでみると
「xが１ずつ増加したとき、yが２ずつ増加している」となる。何か思い出したかな？
　　　　yがxの１次関数である　　ということ。

つまりmがnの１次関数。したがって、m=an+bと置き、a, b を求めればいいのだが
階差が２であるということは、変化の割合が２。つまりa=2
m=2n+b

bを求めるには、例えば、
n=2のときm=3 であるから、代入して　3=2×2+b
より、　b=-1
したがって、m＝2n-1　を得る。

この方法を使う。

元の問題に戻ろう。

n=1　１、２、３、
n=2　１、２、３、４、５、６
n=3　１、２、３、４、５、６、７、８、９
n=4　１、２、３、４、５、６、７、８、９、１０、１１、１２
n=5　１、２、３、４、５、６、７、８、９、１０、１１、１２、１３、１４、１５
n=6　１、２、３、４、５、６、７、８、９、１０、１１、１２、１３、１４、１５、１６、１７、１８

とりあえず、数の合計の表を作る。


となり、差２が9で一定になる。差が一定になるまで差を計算するが、高校入試では２段階で終わるのがほとんど。
１段階上の（差１）はnの１次式になる。
（差1）=9×n＋（定数）という１次関数になるので
差1の式が求められるが、ここでは求める必要ない。

性質として次の知識を使う。これは丸暗記すればよろしい。受験だし、裏技なので・・・。

差１はnの１次式となるが、このとき、
「もう１段上の和mはnの２次式になる」ことが知られている。
（高校数学の階差数列のところで説明がつく。後日証明をアップする。）

そこで、とおいて、
n=1,2,3　　m=6,21,45　を代入してやると
6=a+b+c
21=4a+2b+c
45=9a+3b+c
これらを連立方程式として解けば良い。
a=9/2、b=3/2、c=0が得られるので、


以上。高校入試では２次式どまりなので、これで十分。困ったらこの方法を使ってみよう。

で、実は、もっと裏技がある。この方法の簡略形。
つづく

数学C 全部の章終わり

　数学Cの全部の章が終わった。これで数学ABCが終わり、あとは数学IIIの第５章積分、第６章積分の応用がのこっている。
数学Cでは、最後に統計処理をやったが、いままで「確率変数」というのが良く分かってなかったようだ。大学でも統計学を勉強したのに・・・。大学のときは、検定とか推定とかやっているうちに、いつのまにか、t-分布とかF-分布とか、χ２乗分布（カイ２乗）なんかが出てきてさっぱりだった。

　母集団が正規分布に従うときの、標本平均や標本分散の推定や検定を習っていたときこれらの分布が登場した。今回は高校数学なので、標本平均や標本分散も正規分布に従うことにしているようだ。大学では大きさnの標本分散は、自由度n-1のχ２乗分布に従うらしい。統計学初歩の本にあった。
　高校の数学の教科書で基本を復習しているうちに、標本平均や標本分散が確率変数であることが分かって来た。
統計も学んで行くと面白いと思う。正規分布の確率密度関数に自然対数の底eが出て来たりする理由なども解明するとよいかもしれない。

　あと、積分の復習が待っている。三角関数の公式などを駆使して積分計算をする。ちょっとややこしいが

将棋道場

　何年ぶりだろう。将棋道場へ行った。「初めてですか？どのくらい？」と席主から聞かれた。私の中では「３級」である。そう答えた。道場には定年を過ぎたような人が７、８人いた。早速相手をしてもらった。相手は私より５歳くらい年上の方だった。
　私は先手で相手をしてもらった。得意の戦法で指した方が良いと以前弟から言われていたので、三間飛車で。序盤は普通に進行していた。久しぶりに指してみると、コンピューターを相手にしているのとは違って、独特の雰囲気が感じられた。相手の勝負の呼吸である。一手一手を実に良く考えて指していた。

　どこから攻めて来るのか・・・。桂馬が飛んで来たので、やはり６五歩からの仕掛けであった。しかし、飛車先の８六歩が突かれていなかった、これがわずかに定跡をはずれていたので「しめた」と思った。おかげで、中盤は優位に展開できた。


８六歩が突かれていれば、ここで６四歩と追い返される所。


相手はどう指したか・・・。多分７三桂だったか。

　しかしどこで間違えたのだろう、中盤から終盤にさしかかるときに苦戦を強いられた。このあと、と金に迫られて飛車が追われ、飛車と角の浩瀚になったと思う。
それでも攻防の角を打ち、かなりの接戦ができたのだが、結果は負けであった。よく考えて指さないと負かされる。考えが甘かった。
　しばらく待つともう一番。こちらも年配の人と。またまた先手。７六歩、３四歩、６六歩のとき、３五歩と来た。７八飛に３二飛車、相振飛車だ。自分の飛車が追われたりして、いつの間にか角が１筋に来て、５七の地点から怒濤の寄せで大差がついて負けた。

　前に下見に来たことがある。ここの道場は駒落ちはやらない。だから相手の棋力が分からない。相手をしてくれた人たちはここの常連らしい、対戦表が掲示してあり名前が載っている。段を持っているのかもしれない。
　久しぶりに道場で指して、じっくり考える将棋が出来た。一度は勝ちたい。