３次方程式を解く

神戸大の問題。この問題の背景を考えてみた。

x³-3x+1=0 を解いてみたら、１つの実数解は 2cos40°  

あと２つは角度が120度ずつ増えて、2cos160°,　2cos280°＝2cos(-80°)=2cos80°

結局問題のα₁,α₂,α₃は、2cos160°,2cos80°,2cos40°だと分かった。

この方程式の３つの実数解は虚数の立方根などからなる複雑な式で表される。

「還元不能」であると言われる。

gbさんの言う、「神戸大の師に倣い背景を見抜き」というのはこういうこと？

cosの２倍角の公式より、cos2θ=2cos²θ-1

α₁=2cos160°=2cos(2・80°)=2(2cos²80°-1)=4cos²80°-2=(2cos80°)²-2=α₂²-2

この式から題意のg(x)=x²-2 と推察される。

実際、g(α₂)=α₂²-2=α₁

また、g₂(x)=g(g(x))を求め簡単にして下さい、とは

g₂(x)=g(g(x))=g(x²-2)=(x²-2)²-2=x⁴-4x²+2=x(x³-3x+1)-x²-x+1

であるから、x=αを代入して、f(α)=0より、

g₂(α)=α(α³-3α+1)-α²-α+1=αf(α)+(-α²-α+1)=-α²-α+1

これより、g₂(x)=-x²-x+1

さらにg₃(x)=g(g(g(x)))=(-x²-x+1)²-2=x⁴+2x³-3x²-4x+2=(x+2)f(x)+x

であるから、x=αを代入して、f(α)=0より、g₃(α)=α

これより、g₃(x)=x　となりg₃(x)が最も簡単な式である。

以下、g₄(x)=g₁(x), g₅(x)=g₂(x), g₆(x)=g₃(x), ・・・より

g_n(x)でn=3,6,9,・・・が簡単な式となる。

さて、これにならってf(x)=x³+6x²-8となると、x²の項があって難しい。とりあえずgbさんの質問の意味が分かったような・・・。

写真の取り込み

======================================================　
お断り
この記事が７月２０日にアップされてないと思ったら、６月２０日付けでアップされていた。
アップロードのときの操作ミスかも・・・。ということで７月２０日付でアップし直し。
======================================================



　画像をアップロードしてみたら、ずいぶんと使い勝手がよくなった。また１つ改良したようだ。Gooの方々の努力に感謝。

　以前神田の明倫館という古書店でELEMENTAL ALGEBRA という本を手に入れたとき、本の間にはさまっていた切符。

　昭和10年11月18日の消印があり、南千住から日暮里への乗車券。当時はたぶんSLが走っていたことだろう。常磐線については、下山事件の再現をTVで見たことがあって少し知っていた。下山総裁を轢いた列車はSLだった、機関士を谷啓が演じていたと記憶している。

　「通用発売日共２日」というのがいい。現在は「当日限り下車前途無効」だ。

数学１終わり

　数学１の教科書がやっと終わった。
第３章の章末問題を解き終わったところ。教科書には巻末問題があるが、こちらはあとで解くことにする。
　明日からは数学Aの第３章を解く。平面図形の問題。それが終わったら高校１年の教科書完了。
　で、その後は数学2と数学Bを復習する。この夏で高校の教科書を終えられるか・・・。秋までかかりそうだ。

２項定理の思い出

卒業生のM.Kさんが２項定理で苦しんでいるというコメントをくれたが、これは順列・組み合わせの単元だったので、私は独学だった。確か数学３の教科書に掲載されていたが大学受験範囲外であったので高校では習わなかった。浪人のときだったか、現役のときだったか、教科書を何度も読んで２項定理を理解したことを思い出す。もう45年も前のことだが。

 　この定理は大変重要で、独立試行の確率を求めるときや、微積分で出てくる自然対数の底に関する証明のときにも使われる。それを高校１年で学べるなんて幸せなことだと思って欲しいもの。

それにしてもこんな重要な定理をなぜあのころは大学で教えていたのだろうか。

オランダ・ベルギー１３（６日目 ８月２１日午後）

６日目　８月２１日午後


ダイアモンド工場


ダイアモンドを磨くヤスリ


カットの見本。ガラス製。１００面以上のカットの様子が分かる。


ガラス窓の向こうで作業をしている所


ダイヤモンドの販売も。日本人のスタッフがいた。

アンネフランクの家。全景と玄関。多くの人が中を見学するために並んでいた。

これで午後５時ごろ、このあと自由行動に。

アムステルダム駅。東京駅のモデルと言われている。

遊覧船。次の日これに乗った。

この日はアムステルダムを少し散歩してから、駅へ向かいホテルに帰った。

ツアーの他の人たちは、レストランなどで食事をしたのでは。

われわれはスーパーでサンドイッチを買い夕食とした。ホテルに着いたら食べるつもり。

駅ではあらかじめ教えてもらった通り、切符を買った。買い方が難しい・・・。

切符は普通切符、往復切符、障がい者切符などがありボタンで選択する。

オランダ語と英語で表記があった。小銭が必要。日本のようにお札では買えない。

お札で買いたいときは窓口へ行く。そのときは手数料を取られる！

切符を買ったあと改札機に切符を入れると改札の印を押してくれる。

これがないと検札が来たとき罰金をとられるそうだ。

で、駅には改札口というのがない！素通りだった。

日本には自動改札機がある。日本という国はハイテクだと思った。

目的のホームに行けた。列車にも乗れた。

車窓からオランダ鉄道の車両を眺める。

乗客にスキポール駅までいくつ駅があるのか聞いた。

How many stops to Schipoll?　と聞くと、　Three stops. と答えてくれた。

無事スキポール駅へ。

ホテルへのシャトルバスの停留場に着く

無事にホテルに到着。部屋からの夕日を眺めた。

サンドイッチの写真がないが、アムステルダムで買ったサンドイッチで夕食。

明日の１日自由行動の計画を練る。

ガロアの理論

gbさんから神戸大学の入試問題を紹介された。
一応解くことが出来たが、これをガロアの理論にもとづいて、背景を考えるとなると難しそうだ。とりあえず、題意のf(x)=0の方程式を解いてみたが、どうも手がかりはつかめない。

 　そうこうしているうちに、またgbさんからの質問がやってきた。

=================================================

神戸大の（２）に倣い、背景 を　見抜き!!!!!;
http://www.sci.nagoya-u.ac.jp/kouhou/10/p14_15.html
の　具体例； 
f[x]=x^3+6*x^2-8　のとき、神戸大の師に倣い
◆　g[x]∈Q[x] を多様な発想で　導出し,
g[g[x]]を求め、カンタン　に　して下さい。 
g[g[g[x]]]を求め、カンタン　に　して下さい。
g^n[x] (n∈{3,6,9,12,.....}が一番易しいことを示してください。

神戸大の（3）に倣い、
g[α1]=_____,g[α2]=_____,g[α3]=_____,
g○g[α1]=_____,g○g[α2]=_____,g○g[α3]=_____,
-----------------------------------------------------------
神戸大の（２）に倣い、背景 を　見抜き!!!!!;
f[x]=x^3 + 2010*x^2 - 2013*x + 1のとき、神戸大の師に倣い　
◆　g[x]∈Q[x] を多様な発想で　導出し,
g[g[x]]を求め、カンタン　に　して下さい。 
g[g[g[x]]]を求め、カンタン　に　して下さい。
g^n[x] (n∈{3,6,9,12,.....}が一番易しいことを示してください。

神戸大の（3）に倣い、
g[α1]=_____,g[α2]=_____,g[α3]=_____,
g○g[α1]=_____,g○g[α2]=_____,g○g[α3]=_____,

＜＜　　　　このように　群G=＜g＞　が　主眼ですが、
これを曖昧にした問いかけで、今後ずーと　入試に出題されるでしょう＞＞

◆　御自分で　f[x]=____________をつくり、
神戸大の師に倣うた問達をつくり解いてください；

また　群G=＜g＞を曖昧にした　問達も　作成して　欲しくない　が　作成して下さい；

============================================================================

入試問題の背景は隠しておくものだ。出題者は背景を見せたがらない。ネタがばれたら、解法が悟られてしまうだろう。

入試問題を研究するときに、その数学的な背景を調べるのは面白いと思う。しかし、もう私の知識のレベルを超えている。

gbさんの質問というか、問題提起は私が長年ときどきつまみ食いしていたガロアの理論の理解を助けるようだ。私自身はまだこの理論を理解し得ないでいる。あと何年数学をやれるのか・・・。

自習教室で

　自習教室だか補充教室だか、とりあえず昨日は水曜日だったので、学校へ行った。その前に歯医者を済ませた。歯の治療はすべて完了。あとは12月に行けばよい。（行ったことがないが。）
　３時少し前に学校についた。週一度の出勤簿に印を押す。来週からは自習教室がないので、今日で終わりだが、来週は３年生の夏期講習があるということで、お手伝いをする予定。つまり退屈だから学校に「遊びに」行く。出勤簿を押したところで、６月からの６回分のお手当が出た。図書券、今は図書カードになっているが、封筒６枚分。いくらもらったかは内緒。まあまあボランティアとしてはいい額かな。税金は関係ないでしょうね。

　面談期間中なので質問にくる生徒はいなかったが、２年生が職場体験学習のレポート新聞作りをしていた。
「けんしゅうせい、ってどう書くの？」「研修生だよ」とか・・・。「住宅がいの、がい、って？」「行くという字の真ん中に土ふたつ書くの！」などと、字を教えたりしていたら、卒業生がやって来た。ちょうど定期考査が終わり成績も出たようで、成績表や順位を見せてもらった。数学の答案も見せてもらったり、模擬テストの問題も見せてもらったり・・・。何枚かはコピーをさせてもらった。

　高校の数学の教科書を復習していたので、生徒たちの疑問や質問、話題にも答えられたのでよかった。勉強したかいがあった。高校では数学１は今ちょうど２次関数が終わった辺り。数学Aでは順列組み合わせが終わった辺りだったことも分かった。「これから難しくなるよ」などと答えられてよかった。

　このあと何人か卒業生がやってきた男子４人女子３人ほど集まって来た。しばらく話をして近況などを聞いているうちに５時を過ぎたので、学校を出て、お囃子の稽古の準備を始めた。

　来週は夏期講習のお手伝いに、遊びに行くことにする。

　
　

gbさんの質問のまとめ中

　gbさんの質問をまとめているところ。画像で送られてくるので、それをワードに貼付けてまとめようと思った。
　質問は手応えがあって難しいが、質問の発想が適度な課題になっていて、質問の答えの準備で結構時間が過ぎて行く。おかげで、予定していた高校の数学Aの教科書にとりくむのが遅れ、第２章がやっと終わったところ。
　ワードで編集してみた。なんと２１ページにも及ぶ質問集になってしまった。それでも７月９日までの分だ。その後も質問（というより問題提起だと思う）が寄せられてくる。おかげで私の興味が広がって行く。ありがとうございます。

　ところで、私が思っているgbさん像。
・私より年上か・・・。言葉が難しい。調べないと分からない。「既視感」「悉皆」など。私は無教養。
・かなり数学を勉強しておられる。質問の内容が大学受験問題レベル。それも国立大学のもの。私は大学受験問題はこ　の３０年間解いたことがない。高校入試問題でさえも、難関校のものはお手上げ状態のレベル。
・問題提起が上手。入試問題から、数学的な背景にからむ問題提起が多い。
・数学の蔵書も多くお持ちのようである。私の持っている数学書などはほとんど入門書に過ぎない。

　以上から、gbさんは60代後半か70代の男性で、高校の数学の教員か大学進学塾の講師をなさっていた方なのではないかと思います。大学の先生ではない？？。皆さんはどう思いますか？もし年下だったら？

　gbさんへ、また質問というより、問題提起を出して下さい。難解で私にはほとんど答えられません、勉強が進んでおります。改めて「初等整数論」「複素関数論」「線形数学」などを読み返しております。「大学への数学」という雑誌を読みたくなりました。

気づいたことは後日アップします。

数学A第２章終わり

　高校数学Aの第２章確率の勉強が終わった。前にも書いたが、確率は高校時代には大学受験範囲外だったので習っていない。ところが、浪人したので、大学受験の範囲に入ってしまった。つまり、１学年下の学生たちから教育課程が変わったのだ。そのため、順列・組み合わせや確率・統計はまったくの独学。問題集にあった問題も新出ということで易しいものが多かった。

　さて、改めて高校数学で学んでみたところ、順列・組み合わせや確率の単元では教科書レベルでも難しい問題があってなかなか正解にたどり着けなかった。何度も試行錯誤を繰り返し、やっと正解にたどりついたが、考え方が合っているのか不安だった。

　よくもまあ、このレベルで教員試験に合格できたものだと、自分の幸運に感謝しているところだ。おまけに中学校の教員であったから、基本的なことしか知らなかった。

オランダ・ベルギー１２（６日目８月２１日午前）

６日目８月２１日午前

朝、ホテルの周りを散歩




朝食


このバスで移動。Henkさんという明るい運転手さんだった。
前日、ホテルに着いたとき、土砂降りの中、ツアー客の荷物おろしをびしょぬれになってやってくれた。運転手さんの画像がないのが残念。
この日「Did you catch cold?」などと聞いたが、「No problem.」と答えてくれて元気だった。


国立美術館。工事中だった。




ゴッホ美術館。大勢の見学客でにぎわう。中は撮影禁止。ゴッホの青年時代から晩年までの作品が展示されていた。
「馬鈴薯を食べる人々」だったか・・・。農民の姿がリアルに描かれていたり。


昼食


昼はビールではなくお茶。