難しい質問2

gbさんの質問１に答える。

http://f.hatena.ne.jp/mathnb/20100528021239

で、広島大学の問題にある関数 f がどのようにして導かれたかを質問されたようだ。

 f (x) = (8x+21) / (3x+8) であった。

この関数は√7を変えない関数であった。

 すなわち、 f (√7) = √7   という性質を持つ。

ではこの関数はどのようにして導かれたのかを述べよう。

結論からいうと

  √7    の連分数展開から得られる。途中まで展開した式を用いる。

 　（√7    の連分数展開はここを参照。gbさんのコメントにあったURLから）

無限連分数を途中で止めた結果のうち次のものを使う。

ここで、右辺の √7    を　ｘ におきかえて、右辺を順次計算すれば、
目的の関数の式が得られる。

無限連分数をもう１段手前で止めると(5x+14) / (2x+5) が得られるが、これも√7に対して不変である、

 √7    の連分数展開の方法は後に述べることにする。

つづく

追伸　gb さんが行っていたサイトは、私にとってはかなり難解。ならばgbさんにはもうこれ以

上私の説明はいらないのではないかと思いますが・・・。