難しい質問３

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gbさんからコメントが寄せられた。

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連分数　絡み　と　見抜かれ (gb)

2010-06-17 23:21:03

目的の関数の式が得られる。なる f の導出 に　感謝致します。

無限連分数をもう１段手前で止めると(5x+14) / (2x+5) が得られるが
について　。
もう少し　行間を補ってくださるようお願い致します

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gbさんの連分数に対する知識がどのぐらいなのかが分からないので、とりあえず結論からお答えすることにした。

まずはこの式から始めて、(5x+14) / (2x+5) を導くことにする。

一番下の、1+1/(√7+2) の部分を計算すると、1/(√7+2)の分母を有理化して、(√7-2) / 3

これに1を加えるから、1+1/(√7+2) = 1+ (√7-2) / 3 = (√7+1) / 3

この式で　√7=x とおいて、順次計算すれば   (5x+14) / (2x+5) が得られる。

以上です。

√19についても、連分数展開して、何段かで展開をとめてから、 √19  = x とおいて、順次計算すれば
目的の関数が得らます。

√7 の場合は連分数の各分数の前に　2+　とか　1+ とかの整数が出てきますが、
これが循環します。すなわち2,  1,1,1,4,  1,1,1,4,  1,1,1,4,......
√19については次のようになります。4,  2,1,3,1,2,8,  2,1,3,1,2,8,  2,1,3,1,2,8,....
この結果をもとにして連分数展開を途中の段階で止めればいいのです。