ガロアの理論の本を読んでいると、「アイゼンシュタインの既約判定定理」というのにぶつかる。定理で言っていることは良く分かるのだが、証明が理解しづらい。アルコールでだめになった私の脳では到底分からない証明だ。 Wikiで調べても項目がなかったので、改めて紹介すると
定理 整数を係数とする整式
f (x ) =x n＋a 1x n-1＋a 2x n-2＋・・・＋a n-1x ＋a n
で、，係数a 1，a 2，・・・，a nはすべてある素数pで割り切れるが，定数項はp2で割り切れないとする。このときこの整式は有理数体上既約である。
これが既約判定定理というもの。
これを応用すると、たとえば
x 2＋x ＋1やx 3＋x 2＋x ＋1などが既約であると判定できる。
x 2＋x ＋1で示すと
f (x )=x 2＋x ＋1=(x3- 1)/(x- 1)とする
ここで g(x )=f (x＋1 )={(x＋1)3- 1}/{(x＋1)- 1}=(x3 ＋3x 2＋3x )/x
すなわち g(x )=x 2＋3x ＋3
g(x )の係数は上の定理の条件を満たすのでg(x )は既約であるから
f (x )は規約である。
x 3＋x 2＋x ＋1も同様にして判定できる。
この証明はここ２年ほどというか、ずっと理解不能だったのだが、つい先日分かった。
長年考え続けていると分かるときというものはくるものだと思った。
この調子で、ガロワの理論も分かるときがくるだろう。
