読書メモ 020 『図解・ベイズ統計「超」入門』 ～ 条件付き確率のナゾ

2014年1月6日（月）

　表裏の出る確率が完全に等しく作られたメダルが２枚ある。表裏どちらが出るか、皆で賭けて遊んでいるとする。

　① １枚を投げたら表が出た。２枚目はどちらが出るほうに賭けるのが得か？

　② ２枚同時に投げ、すばやく手で隠した。１枚だけあけてみたところ、表だった。もう１枚は表裏どちらに賭けるのが得か？

　僕がいつでも分からなくなるのは、ここなのだ。何しろ単純なアタマなので・・・
　正解は、① どちらも同じ、② 裏に賭ける方が得。
　分かったようで考え込むと分からなくなる。これが『超・入門』で氷解することを期待したんだが、半壊じゃない、半解ぐらいかな。ただ、迷うのは僕だけではないことが分かった。
　「モンティ・ホール問題」というタイトルで、この件が紹介されている。その問題文は以下の通りである。（Ｐ.74、一部改変）

【問題】
　いま、３つのドアＡ，Ｂ，Ｃがあり、そのうちどれか１つに賞金が隠されている。回答者は１つのドアを選択し、賞金のあるドアを当てれば、賞金がもらえる。最初に回答者はドアＡを選んだ。そこで正解を知っている出題者は、ＢとＣのドアのうち、賞金のないドア（ここではＣとする）を開け、回答者に「ドアＡのままにするか、ドアＢに変更するか」の判断を求めた。
　回答者は変更するのが得か、変更しないのが得か、どちらでも同じか？

　これは実質上、上記の②と同じ内容をもっており、正解は「変更するほうが得」で、変更によって賞金ゲットの確率が２倍高くなるのである。「ウソつけ！」と思ったが、説明を読んで黙らされた。黙らされたが、また呟いた。
　
【説明】
　各ドアに賞金が隠されている確率が等しいとすると、最初の状態でドアＡにある確率は３分の１、ＢまたはＣにある確率は３分の２である。ということは、設問の状況でドアＣに賞金がないと分かった瞬間に、ドアＢにある確率は３分の２に跳ね上がっているのだ。だから・・・

　「なるほど！」と一瞬、腑に落ちる。次の瞬間「待てよ」と悪魔が囁く。
　仮に回答者が何も選択しないうちに「ドアＣにはない」という情報が与えられたとしたら、ドアＡとＢのどちらにあるかは明らかに等確率。ところが、ドアＡを選んだ後で「ドアＣにはない」と言われたら、ドアＢのほうが有利。
　何でだ～～～？？？
　「ドアＣにはない」という追加情報はドアＡとドアＢの価値を高めるが、その高め方がドアＢの方で大きいということなの？う～ん・・・！！！

　この問題はアメリカのＴＶクイズ番組で取り上げられたんだそうで（その司会者の名前がモンティ・ホール Monty Hall）、テレビを見ていた経済学者達が軒並み「損得なし」と誤答したんだそうだ。この本で得た、いちばん有益な情報だったかも。

　「金貨を投げて表が出たからと言って、つぎに表が出るか裏が出るかは、まったく予測不可能だが、二つを同時に投げて片方が表と知ったら、他方は裏と賭ける方が、表に賭けるより２倍有利なのである。」
　（小針晛宏『確率・統計入門』Ｐ.34）
　
　仕方ない、終わりの日まで悩み続けよう。