またろう数学: 整数の問題で作文練習!!

「大学への数学」(黒大数)をぱらぱらと見ていると、整数の問題ってなかなか奥が深くておもしろいなと思う。

ひらめかないと解けないというか…いくらでも難しい問題が作れちゃう。
あるいは、何かスタンダードな方法論があって、練習すればある程度身につくのかな?? そういえば昔、このへん苦手だったからよくわかんないや。

またろうも、高専では別にこのへんやってないみたいだから、未体験ゾーンだね。
とりあえずやらせてみると、こんな感じ。

--- B.509
次の方程式の整数解を求めよ。ただし x >= y >= z > 0 とする。
1/x + 1/y + 1/z = 1
--- またろうの答え
x = 6, y = 3, z = 2
x = 4, y = 4, z = 2
x = 3, y = 3, z = 3
---

…いや、答えはそのとおりなんだけれども。説明は??
ま「説明のしようがないよ」
母「説明がないものは、高校数学ではマルにならないんだよ!! 何かこの数字が出てきたワケっていうのがあるでしょう。それから、これ以外にないという説明も必要だよね」
ま「分数足して、きれいに整数になるのってあんまりないんだよ。全部おんなじ分母か…だから全部3ね…倍半分か…4,2ね…それと、特殊ケースの6,3,2。あとはないよ、アリエナイ(妙にきっぱり)」

そこできっぱりされてもねー(-_-;;

母「じゃ、z = 1 ってありえる??」
ま「ないね。1/zだけで1になっちゃうもん」
母「逆に、どこまでも大きくなりうる??」
ま「それもない。4以上になると、3つ足しても1にいかない。あぁ…」
母「2 と 3 しかないんだから、それで場合分けして作文しなさい」

それでようやく解答作成。説明は冗長で、スマートではなかったけどとにかくできた。まぁこれは地道に作文の練習するしかなさそうだね…。

このあと、整数の問題を一日ひとつ入れるようにしてやってみたんだけど、例えば
---B.504
(1) 996⁴ + 997⁴ + 998⁴ + 999⁴ を 5 で割った余りを求めよ。
(2) 7¹⁰⁰⁰¹を48で割った余りを求めよ。
---
こういう問題であれば、またろうも、黒大数にのっているスタンダードな解法で解けることがわかった。

それと、例えば
---B.508
a, b を自然数として、3a + 5bの形に表すことのできない最大の自然数を求めよ。
---
こんな問題であれば、いちおう答えは出せた。でも黒大数のお奨めの解き方とはぜんぜん違う。

---またろうの答え
【まず、3a+5bで1の位が同じになるもののうち、最も小さいものを求める。a, bの組を(a,b)と表すと3a+5bは】
(5,1) = 20, (2,1) = 11, (4,2) = 22, (1,2) = 13, (3,1) = 14,
(5,2) = 25, (2,2) = 16, (4,1) = 17, (1,1) = 8, (3,2) = 19
この値から、bを2増やすと1の位を変えずに10の位を1増やせる。
よって3a+5bの形に表せない最大の数は15
---
【　】内は母の補足。これがないとぜんぜん意味不明じゃん(-_-#

これは、力技に近いんだけど、この問題に限っていえばスムーズだ。それはともかくちゃんと説明を書いてくれ。

黒大数の解き方は、うっとおしくってめんどくさいんだけど、そのほうが応用範囲が広いということなのかな。いちおう、またろうがぜんぜん違う解き方をしたときは、黒大数の解き方も鑑賞してもらってるんだけど、「へぇ～」くらいであまり関心なし。

でもまたろうくん、解けたからいいやで済ましてると、難しい問題に来たときやっぱり解けないんだよ。いろんな解き方を知って、バラエティーを身に着けていることがだいじ(←母、自分のことは棚に上げていってます(^-^))。

またろうが解けなかった問題:
---B.536
3辺の長さがすべて素数で、最大角が120度である三角形ABCの3辺の長さを求めよ。ただし、3辺の長さは互いに異なるものとする。
---
なんだい、こんなんで辺の長さが決まるの?? という感じの問題である。「すべて素数」という条件って、強力なのねぇ。ま、いきなり難しいのが解けなくてもいいけど。まずは作文練習だね。
(腕に覚えのある方は、解いてみてください。私は初めから解答みましたけどね(^^;;)