接触８割減のシミュレーション

コロナ感染オーバーシュート (この言葉も変だ!) 対策のため，他人との接触を８割減にせよとのおふれが出ている．説明に使われるのが上の図である．この図だけ見ていると，8割減にすると (いつかは分からないが) ある日突然，新規感染者数がガクッと減るように思える．ラプラス変換のステップ応答みたい...こんな綺麗になるわけがないことは，理工学を専門としていればすぐにわかる．しかしどうすればこのグラフが描けるか，考えてみるのもいいだろう．

高級に考えると，このような単純な図は出てこないことは明らかだ．例によってSIR方程式
　　dS(t)/dt = -βS(t)I(t)
　　dI(t)/dt = βS(t)I(t) - γI(t)
から出発する (第３の方程式は無視)．

ある程度大きい閉じた集団の人口全体を１とする．感染者の外部からの流入は時刻ゼロ (ここでは「日」を単位とする) で起きるだけとする．S,I はそれぞれ感染していない人，感染した人の数である．γ は回復率で，この計算では 1/15 日，すなわち 15 日経ったら回復 (あるいは死亡) するものとする．よく耳にするのは2週間という期間に基づきこのように設定した．

β は感染率である．人と人が接触すれば感染すると短絡的に考え，βを接触頻度と解釈する．以下の計算では，ある時点 (ある日) すなわち t=t1 で β が変わるものとする．数式に書けば
　　β=β0,  0<t<t1
　　β=β1,   t_1<=t
である (このブログでは下ツキのフォントが出ない...その他適当に推理してください)．例えば ８割減らすのであれば　
　　β1=0.2β0
としなければならない．

β／γは，ひとりの感染者が回復 (あるいは死亡) するまでに周囲に作る感染者数であって，再生産数という．WHO によれば1.4 ないし 2.5 ということなので，β0=2.5γ とした．とりあえずこの感染率が続くとすると，シミュレーションでは新感染数 (非感染者の減少 -S'(t)) は下のグラフの青線のように推移する．新感染者数が最大となるのは２ヶ月後である．

さて，30日目で感染率が突然8割減し β1=0.5γ=0.2β に変化するとしよう．赤線のようにその時点で，感染者の増加が瞬時に減少し，そのままゼロに収束していく．
赤い波線は同じタイミングでより減少を小さく2割減，すなわち β1=2γ=0.8β0 とした場合であって，青線と赤線の中間，青線よりとなる．新感染者数はしばらく増加してから現象に転ずる．

適当なパラメータを仮定したが，左端50日あたりまでは冒頭の図を定性的には再現できた．冒頭の図は，30日目で突然 β が 8 割減となるという仮定によるものであろう．β0=2.5 であればその６割減で β1=γ となり，現象と増加が拮抗する．β1 はこれより小さければ十分だが，８割減を標榜するのは行政がサバを読んだ結果だろう．

外出減の効果が冒頭の図のように現れるまで，2週間とか１ヶ月とかを要するように報道されている．潜伏期，外出要請の徹底の遅れ，検査・統計の遅れ，個人差などを勘案すればそうなるのかもしれない．しかし説明にした使ったグラフが数学的に理想化したモデルを用いているので，齟齬がありる...まあ，誰も信用しないのかもしれないが．
 
途中からでなく最初からでも，β を小さくすれば，ピークの高さは抑えられることはわかっている．ピークを抑えれば医療崩壊は免れることができるが，全感染者がゼロになる (陰転する) までの日数は長びく．たとえば点線の場合は半年以上かからないと終焉したと実感できないだろう．もしかしたら現実は来年まで，オリンピックまで長びくかもしれませんよ．

---　4/13　2枚目の図を入れ替え，テキストも修正しました．---