水星見えず、残念

10月下旬、水星が西方最大離角になり、日の出前に東の空に見えるはずだったのですが・・

3回早起きして挑戦したのですが、見ることは出来ませんでした。国立天文台のサイトに、日の出30分前ぐらいに仰角が10度かそれ以上の高さで見ることが出来ると、図解付きで紹介されていました。

それでこの辺の日の出時刻が6時15分なので、その30分前の5時40分に起きて、東の空を眺めたのですが・・・？

1回目はくもり
2回目は大変良く晴れて絶好の機会のはずが、何も見えない
3回目はくもり

まあ、2回目が最大のチャンスだったわけですが、日の出30分前では空はかなり明るく、朝焼けが出ています。

もしかしたら30分前では遅すぎた？？

毎日早起きは辛いので今回は諦めました。次回再挑戦です。その次回ですが、水星は公転周期が短いので、次の機会はすぐにやってきます。
で、次の機会がいつ頃なのか・・？

水星の公転周期は88日ですが、88日経つと地球も88日分回っているので88日後ではありません。その周期は116日となります。
10月25日の116日後は2022年2月17日です。富山天文台のHPにもそう書かれていました。

寒いときですね。そしてその次も116日後とすると、2022年6月13日なのですが、富山天文台のHPには6月17日。これは116日後ではなく、120日後です。なんでかな？

それで2018年～2022年の間の西方最大離角を調べたところ、西方最大離角の日の間隔は110日～121日となっていて10日の変動があります。ずいぶんバラついています。11回の平均は116日です。会合とは異なりますが会合周期と同じです。

地球の公転軌道はほぼ真円なのですが、水星は太陽系の惑星の中で離心率が0.2と最も大きい楕円軌道です。

楕円の程度が強いと、軌道の長手方向に進む場合は、水星の速度も遅くなり、しかも西方最大離角に達するまでに進む距離も長くなると考えられるので、この場合は116日より長くなる。

またその逆も。。
なるほど、そういうことか・・・・

会合周期は
水星と地球の公転による1日当たりの角度のずれを求め、ずれが360度になるのに何日かかるか、で求められます。

まず会合しているときは角度のずれはゼロ。太陽、水星、地球が一直線です。
水星の公転角度は1日に4.09度
地球の公転角度は1日に0.98度
公転の方向は同じなので、ずれは差で求められます。
4.09-0.98=3.11度←1日当たりの角度のずれ
360/3.11=116日
となり、これが会合周期です。

どちらも円軌道と仮定したときの計算ですが、入試問題に出たりするそうです。

実際は水星も地球も楕円軌道を描いているので、平均は116日ですが、±5日ぐらいのずれが生じています。