教科書を飛び出した数学

　数学を日常生活やそれを支える技術との関連で説明し、数学への興味を誘う本。
　著者の「授業実践開発研究室」で研究し、千葉大学附属中学３年生の授業に用いたプログラムから、８つのテーマを紹介しています。
　今どきの本では、一番のエピソードを最初に持ってくるということもあると思いますが、私には最初の音律とハーモニーの話が、私が音楽分野は少し苦手なこともあり、勉強になりました。和音では振動数が整数倍だときれいに響くということは感覚的に理解できますが、音律でそれを優先して、１オクターブは２倍、５度の関係(ドとソ、ラとミなど）では３／２倍という２つのことだけで決めた音律をピタゴラス音律というのだそうです。最初の音(例えばド)から５度ずつ上げて１オクターブを超えたら１オクターブ戻し、また５度上げていくという順序で各音の振動数を決めていくことになりますが、この作業を１巡すると、最初の音の１オクターブ上の音は結局２．０２７２９倍になってしまうとか(４～１０ページ)。このように音の振動数を整数比で決める音律を「純正律」と言い、ピタゴラス音律も純正律の１つですが、一般に用いる純正律では、ドの振動数を１とするとレは９／８倍、ミは５／４倍、ファは４／３倍、ソは３／２倍、ラは５／３倍、シは１５／８倍とされ、これは長３度(半音４つ)が５／４倍、短３度(半音３つ）が６／５倍で３度のハーモニーがきれいになるそうです。それでドミソ、ソシレなどの長調の和音がきれいというわけ。ところが、純正律では全音１つ(半音２つ)違うと基本的に９／８倍、短音１つ違うと１６／１５倍になるけれど、ソとラの間だけ１０／９倍となるため、曲の途中で転調が困難という問題があり、これを避けるために１オクターブを２倍として半音１２を均等（半音違うと２の１２乗根倍）に配分した「平均律」が鍵盤楽器で広く使われるようになったけれども今度は和音がやや濁ってしまうのだそうです（１０～１７ページ）。音律にいくつも種類があることも知らなかった私にはビックリの世界でした。
　その他の点では、素因数分解と暗号鍵の話、複素平面の話が、これまで読んでも難しいなぁという印象しか残らなかった分野で、少しイメージしやすく書かれているなと感じました。


藤川大祐　丸善出版　２０１３年７月３０日発行