フィボナッチ数列と黄金比

出掛けようと思って準備をしているとき、チラッとテレビを見ると、【Ｒｕｌｅｓ～美しい数学「数」】をしていました。


自然界のものでは、例えばひまわりの中心部分や松かさを裏側から見た模様が、フィボナッチ数列だそうです。

ひまわり中心部分の渦巻き状の数を数えると、34と55（左回りと右回り）。

松ぼっくりの渦巻き状の数が、8と13（左回りと右回り）。

この数字がフィボナッチ数列なのです。


フィボナッチ数列：１、１、２、３、５、８、１３、２１、３４、５５、８９、１４４、２３３、３７７…

※この数列の規則は，前の２つの項の和が次の項の値になっています。

２項目÷１項目、３項目÷２項目、４項目÷３項目……は、1、2、1.5、1.6667、1.6、1.625、1.6154、1.6190、1.6176、1.6181、1.6180、1.6181、1.6180……という数列になり、黄金比1.6180339887に近づくそうな。
とても興味深い内容で、思わず見入ってしまいました。


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NHKの番組：Ｒｕｌｅｓ～美しい数学「数」

世界に秘められた不思議なパターン、そしてその背景にあるルール（数学）とは何か？　ヒマワリの花の中ある渦巻きから見いだされる「数」、物を投げると現れる「形」、そして、偶然の中になぜか現れる「秩序」。魅力的な映像で、世界と数学の深遠な関係をわかりやすく、そして美しく解き明かしていく３本シリーズ。

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下記は、黄金比と黄金長方形より引用しています。




黄金長方形の作図は意外に簡単。コンパスと定規を使って描いてみましょう。

正方形ABCDを描き，辺BCの中点をEとする。
　
点Eを中心としてEDを半径とする円弧を描き，BCの延長との交点をGとする。即ちED＝EG。
　
長方形ABGHを描けば，黄金長方形の出来上がりです。



BC＝CD＝1，BE=EC＝1/2，△ECDは直角三角形だから
　EG2=ED2＝EC2＋CD2＝(1/2)2＋12＝5/4　よってEG=√5/2
　だから ｘ＝BG＝BE＋EG＝1/2＋√5/2＝（1＋√5）/2

　「富士山麓さんろくオーム鳴く」で　√5＝2.2360679・・・を使えば、黄金比は　１：（1＋√5）/2＝１：1.6180339・・・ となります。


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面白いですねぇ。