ガウスの定理とストークスの定理の覚え方

ガウスの定理とストークスの定理の覚え方といってもあまり知られていない方法ではない。微分形式を知っている方なら、既知のことであろう。

いまさっき志村五郎さんのちくま学芸文庫の『数学をいかに使うか』の第２章の一部を読んで、微分形式を形式的に知るだけでも、ガウスの定理とストークスの定理の覚え方となることを知った。

どうもストークスの定理のどちらの項に負号がついているのかとかは、覚えにくいし、覚えていてもごっちゃになる可能性があると思っていた（注）。

最近、微分形式でないストークスの定理とか平面上のグリーンの定理とかの証明を調べていてマイナス記号がつく項の存在がどうも積分変数の順序の入れ替えと関係しているようだと思いだしたので、志村さんの本の当該箇所をチェックしてみた。

そしたら、案の定そうだった。前にちょっと微分形式を勉強したことがあったが、すぐに内容を忘れてしまったし、それに以前にはガウスの定理とストークスの定理と関係させて微分形式を学んでなかった。

志村さん自身がストークスの定理で項のどちらに負号がついているのかわからなくなりそうだと書かれている。だからこの符号の問題は私だけがごっちゃになるわけではなさそうだという感じがしていた。

もっとも志村さんの本にはガウスの定理の方については微分形式では示していなかった。それでスウの『ベクトル解析』（森北出版）の該当ページで補足しなければならなかった。

（注）これは定理を証明するときの問題である。ベクトル記号でのそれぞれの定理の表し方にむつかしいことがあるわけではない。