半歩を踏み出した

半歩を踏み出した。まだ一歩を踏み出したとは言えない。ようやく半歩を踏み出したとでもいうべきだろう。

しかし、この半歩どころかまったくここ数年踏み出せなかった。これは他人から見たらとてもおかしく映るだろうか。しかし、魔法のまじないにかかったみたいに半歩もここ数年踏み出せなかった。

壁が目の前にあることは意識していたが、その壁を意識しすぎであったかもしれない。いまは自分のわからないことは一応棚上げをして、なんとかわかるところだけでも進もうとしている。

いずれは私のわからないところが腹の底からわかる日も来るかもしれないが、それにはまだほど遠いと感じている。これは私の問題であって、他の人の問題ではない。

実は多くの線形代数の本にも私の了解できてないことをどう書いてあるのかを調べ始めてもいる。もっともそれについて書いてない本も多いのだが。

そろそろ具体的な取り組みをしないと

そろそろ具体的な取り組みをしないといけない時なのだが、さて今日は取り掛かれるだろうか。実際に動き出して見ないとわからない。

気持ちの上では動き出せそうなのだが。さてはて、実際はどうだろうか。しかし、いままでこのようなことを考えたこともなかった。妻の冷たい言い方が逆に私の反抗心を起こしたのかもしれない。

妻はそのことまで考慮してどうせ自分の言うことを考えているのだから。こういう風に言ったら、私が反抗心を起こしてことにとりかかるだろうと思って言葉を発しているのだから、降参である。

励まし方もいろいろであることだ。

専心できないこと

専心できないのがわるい。

私はどちらかというと気が多い方で、なかなか専心できない。それで専心するための退路を断っていく方法を今選んでいる。

昨年の９月からサーキュラー「数学・物理通信」を休刊するつもりであったが、これはかなわず、またいま長く参加してきたドイツ語の教室を退会しようとしている。

長年参加してきたクラスだが、もう自分の生きられる時間が長くないことを実感しての処置である。参加者からはまたクラスに帰って来てほしいとの要望がだされている（注）。

本当にありがたいことだが、そのクラスに復帰できる見通しはいまのところない。それぐらいお先真っ暗なのである。

障害のブロックは英訳して出版しようと考えている、『四元数の発見』の第６章の６．３節の書き換えの方針が立たないことである。すこし方針が見えたかとも思ったのだが、やはりなかなか難しい。

ある方に救いの手を延べてもらいたいとお願いもしたのだが、なかなかいい返事がもらえない。自分で何とか道を切り開くしか仕方がないようである。

道が急に開けるかそうではないか、私にはいまのところいい見通しはない。

（注）ドイツ語のクラスは対面の本当のクラスであったが、最近はZoomによるクラスである。そのために地理的に同じところである必要がない。

これは大いに利点であるのだが、こういう試みをしている先生Rさんが偉いと思っている。

（２０２４．３．３付記）このブログにはその後の様子も書いておいたが、『四元数の発見』の第６章を書きかえた原稿をつくった。これで万事解決したと思った。しかし、その後、セガの「線形代数講座」を読んで、当該の問題の箇所をもっとフレンドリーな内容に書き換えた方がいいのではないかと思い始めている。

なかなか悩みは尽きない。

（２０２４．５．１１付記）『四元数の発見』の第六章だが、一応原稿を書き換えたと前に書いたが、その後書き換えた部分がまだ十分でないことから、他にベクトル空間についての補足の文章を書いた方がいいのではないかと思い始めている。なかなか悩みは尽きない。

５０ページくらい読んだら、

５０ページくらい読んだら、というのは、先日言っていた『手を動かしてまなぶ線形代数』だが、まったく頭が受け付けなくなった。読んでも頭に入らない。５章「ベクトル空間」を読んで、つぎの６章「線形写像」の表現行列の箇所に入ったところだった。

他の本を引っ張りだして読んでみたが、これも頭に入らない。頭を休める必要がありそうだ。５章を読んだ後で、４章の「行列の指数関数」を読んだ後で、6章にとりかかっていたのに。

１章「行列」、２章「連立１次方程式」、３章「行列式」はたぶん既知の知識だと思って読んでいない。直接に５章を読んだのである。ここが意外と読めたので、気をよくしたのがいけなかった。

線型代数がわかるテクスト

線型代数がわかるテクストといっても、もちろん私がという注釈付きである。

今読んでいる、藤岡敦『手を動かしてまなぶ線形代数』（裳華房）をその第一に挙げたい。もっともこの本は佐武一郎『線形代数学』（裳華房）を頻繁に引用参照するようにしている。だがそれでいいのだと思う（注1）。

この本は昨夜かなりの部分を読んだのだが、他にあまりまだ通読してはいないのだが、通読できそうなテクストとして、小寺平治『テキスト線形代数』（共立出版）がある。これはかなり工夫して書かれた線形代数のテクストであるらしい。

最後に、森毅『線型代数』（日本評論社）を挙げておこう。こちらは小寺さんの本よりももっと読んでいないのだが、私の密かな模範的なテクストとなりそうである。これは森ダイアグラムをはじめに掲げているからである（注２）。

他にも日本語で書かれた線形代数のテクストは１０冊以上もっているのだが、私には難しすぎるような気がする。

おっと、忘れていた。以前の私の学生が使っていたテクストがあった。これは千葉大におられた、多くの数学者の共著『教養の線形代数』（培風館）である。これを挙げておかねば申し訳が立たないであろう。この本は私でも線形代数をなんとか理解できそうな学問である教えてくれた初めての書であった。

（注1）　もっとも佐武一郎『線形代数学』は私の理解を越えた数学書である。線形代数といえば、この書と斎藤正彦『線型代数入門』（東京大学出版会）が標準的な良書であることを否定できないだろうが。

（注2）「森ダイアグラム」ってなんだ。これについては説明しない方がかえってみなさんの興味をそそっていいと思う。関心のある方はインターネットで検索してほしい。

ベクトル空間と四元数

ベクトル空間と四元数とはどういう関係にあるんだ。まったく関係ないではないかなどという声も聞こえそうだ。

四元数をベクトルと考えるというとああそうかとようやく理解してもらえるかもしれない。確かに四元数の和もまた四元数に実数をかける演算も定義されるので、だれでも四元数の集合は４次元のベクトル空間と思ってもらえるだろう。

いや複素数の全体だって、２次元のベクトル空間をなしている。実数だって１次元のベクトル空間だ。もっとも実数をベクトル空間と考えるのはあまりご利益はないだろうが。

実数をベクトル空間と考えることが実はベクトル空間の公理と深く関係していることをまで認識している人はどれくらい世の中にいるだろうか。

スカラ―積を四元数とか複素数に導入すれば、単なるベクトル空間ではなくて、計量ベクトル空間となる。いわゆる長さというか、距離の概念をもった空間である。

前に購入していた志村五郎『数学をいかに使うか』（ちくま学芸文庫）にも距離の概念のあるベクトル空間が役に立つと書いてあった。以前に読んだときにはこの言及には全く気がつかなかった。

3日ぶりにブログへの復帰

3日ぶりにブログへの復帰する。

月曜日と火曜日は高松にいた。昨夜帰松した。ブログへのご無沙汰だったが、今日が３日目である。

昨日も寒くて高松道とか松山道の積雪が心配されたが、それほどひどい積雪はなく何とか無事に帰ることができた。途中でガソリンの給油したところでは氷が一時積もったが溶けていた。帰宅は１０時前だった。

なかなか床についても足先が温まらず、寝つけにくかった。それでもいつか寝ており、朝方には足先も冷たくなかったからよく寝られたようだ。

まだ「四元数　（補遺３）」は完成していないが、今日中には完成するだろう。もっともこれは前の版の改訂版である。

まだこれからの修正版をつくるつもりだが、『四元数の発見』第６章の６．３節の改訂のアイディアができたというわけでもないが、その方向が見えた気がしている。

要するに線形代数のベクトル空間のすべてが十分にわかってもいなくても四元数の理解に必要な最小の必要限度の理解ができていればなんとか第６章を改訂できるのではないかということである。

線形代数のベクトル空間のすべてが十分にわかることは望ましいが、私は線形代数のテクストを書くわけではないからである。将来的にはそういう野望もまったくないとはいわないけれども、それはまだまだ先のことであろう。

また明日から二日ほど留守する

また明日から二日ほど留守するから、今日は日曜日だが、ブログを書いておく。

年を取ってくると身内に不幸事がよくおこるようになってくる。しかたがないことである。

昨年末は高知に出かけたのだが、今回は高松に出かけることになる。実の妹がここに長年住んでいるのだ。あまり会わないでいたが、今回は久しぶりに会うこととなった。

その用事とは関係がないが、このように身内に不幸事がよく起こるといつかは同じことが自分の身に起こるのだと実感されるようになってきている。

大体、私はあまり自分の老い先を心配するような性質ではないのだが、やはり人間の寿命の有限さを知ることとなる。

何をいいたいかというと、前から密かに思っている自著の英語版への着手を早急にしないと手遅れになるということである。

妻などはそういうことはまったくできないと判断しているが、それが普通の判断であろう。それを否定するつもりなどまったくない。しかし、まあなんとか努力はしてみるつもりである。

まあ、できなくてももともとだから、もしかしてうまくいったら、拍手喝さいしてほしいな。

多元数の本

多元数の本を購入したと先日書いた。昨日この本を受け取って、さっそく見たのだが、四元数のことはほとんど書いてなくて期待外れだった。

多元数としての本の価値があるのかもしれないが、私にはその価値がわからない。八元数のこともあまりあからさまには書かれていない感じである。

それにといってはこの本に失礼かもしれないが、四元数に関係したところでつまらないミスプリントがあった。これはちょっと簡単な計算をしてみてわかった。

著者はもう自分では校正をされていないのであろう。どなたか著者のお弟子さん筋にあたる方が校正をされるべきであったろう。

本の価値を役立つかどうかだけで評価するべきではなかろうが、ちょっと拍子抜けするような感じである。またいつかにこの本の価値を評価できるときが来ることを願っている。

本の価値も評価する方の力量に依存するからである。私はまだこの本をきちんと評価できるほど力がついていないということであろう。

『元気が出る数学の授業』

『元気が出る数学の授業』（東京図書）という本を購入した。実はこういう題の本を書いたらどうかと私自身が思っていたから、新聞広告を見てすぐに注文したのである。

取り扱っているトピックがわるいことはないのだろうが、ちらっと見た感じでは私の期待ははずれた。いやこの本の存在の意義がないとか言っているのではない。私が本のタイトルから期待していたものと比べてあまりに外れていたからである。

いや私ならどういうことを書きたかったと言われても私自身がよくはわからないのだが、すくなくともこういう本を書きたかったという気はまったくしなかった。

もうちょっと数学に真正面から取り組むという気概が必要なのではないかという感じがしている。じゃあ、お前ならどういう風に書くのかと言われたら、口ごもってしまうだろうから、これも一つの解ではあるのかもしれないのだけれど。

いや、こういう本を書くのが難しいということなのかもしれない。

四元数、四元数の日々

最近は四元数、四元数の日々である。すぐれたことをしているわけではないが、バカな頭で考えるのだから、なかなか事が進まない。

これは前に書いた数学エッセイ「四元数（補遺３）」の改訂版に苦労しているということである。

私は怠け者ではないが、いかにせん、あまり頭がよくはないと来ている。それで明敏な頭の方なら数日で済むことが１週間以上かかっているということだ。

いまさら、頭が明敏になろうとしてもそういうことは期待できないので、時間がかかるのは致し方がない。も少し頑張ってみることにするしか方法はない。

『変数変換型数値計算法』

『変数変換型数値計算法』（岩波書店）という名の本を購入した。実はこの本が私が現役のときに解決できなかった、微分方程式の固有値問題の数値計算法に役立つのではないかと思っていたのだが、税抜きで定価が7,200円だったのでなかなか購入にふみきれなかった。

だから、ほぼ半年遅れでようやく購入したわけである。直接に私の解いていた微分方程式の固有値問題に役立つかどうかはわからない。

Milneによる微分方程式の固有値問題をSchroedinger方程式に適用したところではあまり不都合はなかったと思うが、これを一般化したSturm-Liouville型の微分方程式の固有値に適用したときにはうまく行かない場合があった。それを大学を定年になるまでに解きたかったが、アイディアがなく難しかった（注）。

私の方法ではSpline関数を使うところが工夫であったが、区間の端点で発散する場合には積分がうまく評価できなかった。

これが変数変換でうまく行くかもしれないと思い始めている。もし変数変換でうまく行くなら、元のSpline関数を使うことだって諦めてもいいのかもしれない。

大学生協の書籍部にこの本を注文したら、１部在庫していたとかメールでもらった。どなたかが購入してくれるのではないかと思って書籍部として購入したのだと思うが、誰もE大学では購入してくれなかったらしい。

これは現在大学の使える予算が極端に少なくなっているので、こうした学術書は私のようなある種の好事家によってしか購入が期待されないからであろう。

ほぼ十年以上前に私が『四元数の発見』（海鳴社）を書いた、その印税で購入した高瀬正仁訳『オイラーの解析幾何』（海鳴社）は10,000円の高値がついていた。これは上巻にあたる『オイラーの無限解析』（海鳴社）のほぼ倍の定価がついていた。もちろん、このときに二冊とも購入したのだが。

これは下巻は上巻ほどは売れないためにこういう定価をつけているのだとその当時に社長の辻信行さんから伺った覚えがある。

そういえば、知人の森田克貞さんの『四元数・八元数とディラック理論』（日本評論社）だってそうだったのかもしれない。この本を購入したときに4,800円の定価は身が縮む思いがした。ところがこれくらいの定価の本は今では珍しくはなくなった。

（注）Milneによる微分方程式の固有値問題をSchroedinger方程式に適用したのは昨年亡くなった江沢洋さんとそのグループである。私はそれに倣っただけであるが、Spline関数を導入したところが私のオリジナリティである。そういう縁で江沢洋さんとのつながりができた。もちろん、彼の従弟が私の友人だという縁もある。

多元数の本を注文した

多元数の本を注文した。もちろん、古本である。私自身は八元数には関心がいまのところないので、四元数のことをこの本がどう書いてあるかが関心事である。

注文した本は正田健次郎『多元数』という本である。出版社は日本評論社だったろうか。もっともこの古本も元の原本が存在しているらしい。そちらはもっともっと古いので、買う気もしない。

私が中学生だった頃、使っていた数学のテクストがこの正田先生と塩野直道氏との著作か監修のテクストであった（注）。数学者・正田健次郎といえば、いまの上皇妃美智子さまのおじさまにあたる方である。

女性の数学者であった、ネタ―の取り巻きの一人、いわゆるネタ―ボーイの一人で正田さんはあった。日本における抽象数学者の元祖と目されていた方である。

（注）私の中学生時代は１９５０年代前半だからもう５０年以上前のことである。中学時代は私もまだすこしは成績を気にする生徒であったろう。高校以上の学校では成績を気にすることをやめたので、私はあまり成績のいい生徒・学生ではなかった。

だから大学の研究室に入ったときでも、たぶん先生方は成績の芳しく学生がきたというのでがっかりだったろうと思う。もっともそういうことをおくびにも出さない先生方ではあったのは幸せだったのだが。

昨日見直した数学エッセイを

昨日見直した数学エッセイを仕事場にもって来るのを忘れていた。

今日一日の仕事が遅れてしまうが仕方がない。これは土曜日にこのブログで触れた「四元数（補遺３）ー四元数とパウリ行列ー」である。

この主題は四元数の単位である、i, j, kを２次の行列でどのように表すかについて述べたものである。

一つは河野俊丈『組みひもの数理』（遊星社）を読んで知ったことを書いている。もう一つは多くの数学の本からどういう風にi, j, kを２次の行列でどのように表したかを調べたことを書いたものである。こちらは２次のユニタリー行列で複素数の行列要素をいろいろにとって、このi, j, kを２次の行列で表した様子をまとめている。

その後には、私が見つけたi, j, kを２次の行列である、パウリ行列と対応させるときにどのような対応があるかを書いておきたい。これは前の数学エッセイに書いたことの修正のつもりで書いているから。

これはi, j, kを２次の行列である、パウリ行列と対応させたときにその前に未定の係数をつけてその係数としてどういう定数が許されるかを考えた。これは、たぶん私の独創だと思っている。もちろん大した独創ではないが。

『四元数』（森北出版）を書いた横浜国立大の今野教授も私の本を読んでだと思うが、この考えを取り入れられていると思う。別に特許をとっているわけではないから、誰がどのように使ってくれても文句はない。

いま至急見直しを

いま至急見直しをしている。これは昨日書いた「四元数（補遺３）－四元数とパウリ行列－」のことである。昨日も書いたように１１ページもあり、私の自慢の数学エッセイの一つのつもりだったが、これが見直しが不十分であまり自慢にはならない代物だった。

大分、見直しができたのだが、まだ見直しは終わっていない。これからがちょっと時間がかかるかもしれない。

これとは別だが、パウリ行列を導出した数学エッセイも他の機会に書いている。これは有名な朝永振一郎先生の量子力学の補巻といわれる、『角運動量とスピン』（みすず書房）のパウリ行列の箇所をフォローしたものである。

朝永さんが書いているのだから、いまさらとか言われても困る。たぶん朝永さんの書いているよりはわかりやすくなっているはずだ。

   (\sigma _{i}\sigma _{j}+\sigma _{j}\sigma _{i})^{2}=0 なら

　　　\sigma _{i}\sigma _{j}+\sigma _{j}\sigma _{i}=0

が成り立つと朝永さんは書いているのだが、それについて編者の原康夫（筑波大学名誉教授）さんが注をつけている。だが、それの詳しい証明を知らなかった。それで自分流の証明を付録につけてある。これの明解でエレガントな証明は知らないのだが、そういう証明を知りたいと思っている。

パウリ行列の導出については他の文献をフォロして導出したことはあるはずだが、そのノートはどこにあるかはわからない。いつかはいくつかの文献によってパウリ行列の導出についてまとめておきたいなどと考えているのだが。

これらは「数学・物理通信」に掲載しているのでインターネットで検索してみてほしい。「四元数（補遺３）－四元数とパウリ行列－」の方は後半の部分がちょっと粗雑であるのだが。賢明な読者なら判読可能だろうか。