大学生協で頼んだこと

昨日、大学生協で頼んだことは私の本『四元数の発見』（海鳴社）を書籍部の店舗においてくださいというお願いだった。

月に１回はこの店舗に行くのだが、毎回行っても雑誌をもらって帰るだけである。以前に『物理数学散歩』をおいてくれないかと頼んだことがある。数冊持って行って委託したような気がするが、それが売れたとも聞かない。

まあ、売れてもあまり儲けにはならないだろうが。すくなくとも私にそれがどうなったのかの報告はないような気がする。もっとも私にしても委託したつもりでまったく委託した事実もないのかもしれない。それくらいまあどうでもいいのである。

あまり儲けることには関心がない私だが、それでも学生の数学の理解には役立つのではないかと思っている。だから私の本が売れるというよりも、むしろ、文化の普及の方に重点がある。

セガの「線形代数講座」

セガが何の会社かもあまりよくわからないが、この会社の開発技術部の指導者だと思われる方のつくられたセガの「線形代数講座」の資料がとてもいい。

私はこれを先日ダウンロードしていたのだが、いそがしかったので読む機会がなかった。昨日、意を決してプリントして読んでみた。

十分詳しくよんでいるわけではないが、私がある意味で得意としているLevi-Civitaの記号についても普通とはちがった説明がされている。もちろん、結果的には私の理解とも重なるのだが。これは私が小著『数学散歩』とか『物理数学散歩』（どちらも国土社）で述べた一般化されたKroneckerのデルタ記号に帰着する。

その辺を私の説明とは違った文脈でされているのは、あまり他では見たことがなかった。数学のよくできる人がいるものだといまさらながらに感心してしまった。

いま『四元数の発見』を英訳して出版したいと思って自分の書の中で意に満たなかった箇所を書き換えていた。先日その作業が終わったのだが、このセガの「線形代数講座」を見てもう一度再検討をした方がいいかと考えている。

私はあまり行列の固有値とかのことは詳しくないので、主に空間回転のことに関心がある。これについてもかなり突っ込んだ議論がされているように思われる。

一つだけ気になった言葉遣いだが、「スカラー積」という語がある。普通の線形代数の本では「スカラー倍」と表現されている語だが、ベクトルの内積のことをスカラー積ともいうので、この語は使うときに要注意である。ちなみにこの講座では普通の「スカラー積」の代わりに「内積」という用語を使われている。

数学者の遠山啓さんはこの語としては「スカラー乗法」としているようだ。私もスカラー倍という用語は好まないので、最近はスカラー乗法を用いている（注）。

（注）普通に線形代数の本で使われている、スカラー倍を使いたくない理由は実はある。これは遠山啓さんの所属した数学教育協議会での量の理論と関係がある。一言で説明できるのかもしれないが、いまは私にはすぐに説明する言葉がない。

今日は大学生協に雑誌を取りに行った

毎月の23日くらいになると大学生協書籍部に月決めの雑誌を取りに行く。

今月は今日まで取りに行けなかった。私の仕事場から大学生協まで徒歩で10分そこそこだが、出不精の私にはなかなか足が向かない。

今日は大学の付属図書館で見たい数学の本があったので、それを見にいくことも兼ねていた。まずは付属図書館で当該の本を探そうとしたが、どこにあるのか探して見つからなかったので、端末のところへ行って検索をしたらどこにありそうかわかった。

ちょっと立ち読みしたら、これは該当箇所をコピーするだけでよさそうだと見当をつけて、館内でコピーをした。その後、大学生協で雑誌を受け取って帰ってきた。今日のお仕事はほぼ終わりである。

Levi-Civitaの記号の縮約に出てくるある恒等式の私の知らない証明がありそうなので、それをメモしておきたいと朝起きたときから思っているが、いまはそのメモの途中である。

もちろん、私なりの証明はすでに『物理数学散歩』（国土社）に書いてあるが、他にどういう証明が考えられたかを知っておきたいと思っている。

立体角

立体角と書くとそれは何だという質問がコメントによこされそうである。

図で描くとなんでもないが、このブログは図が全くないので、言葉での説明となる。

円錐を考えてみてほしい。その円錐の頂点が空間のある点にあるとしよう。その点からある空間がその円錐に沿って切り取られていると考えよう。そしてその円錐の先端というか頂点を中心とした半径 r の球を考える。円錐の頂点と球の中心が一致した座標系を考えるのだ。

そのときに仮想的に考えた半径ｒの球を円錐が切り取るとして、その切り取られた球面上の面積を S とする。

このときその円錐で切り取られた Sを球の半径 r の2乗でわった

　S/r^{2}

を立体角というのである。

いまわかりやすいように円錐で半径 r の球面が切り取られるとしたが、これは別に円錐で切り取られるのでなくてもい。四角錐でもよいし、六角錐でもよい。いや別に角錐とか円錐にはこだわる必要はまったくない。

球面上に勝手に閉曲線を描いて、その囲む面積Ｓを球の半径 r の2乗でわれば、それが球の中心から眺めた立体角なのである。

平面角の場合の弧度法での角の定義は円の円弧の長さ s を円の半径 r でわった

　ｓ/r =¥theta

を角度としたのであった。

立体角の場合には球面上の面積 S を球の半径 r の２乗でわっている。このときには面積 S は２次元の量だから、球の半径の２乗でわれば、

　S/r^{2}

が無次元の量となる。同様に平面角の場合も

　s/r

は長さ s を長さ r でわっているから s/r も無次元の量となっている。

ここまで書けば、どんな頭の鈍な人でもわかるだろう。というか、こういう考えに至ってようやく立体角の意味を私自身がわかったのである。

こういう風に教えてもらったら、いくら私が鈍な頭の持ち主であるにしてもわかったはずである。

ちなみに私は人にこういう風に立体角について誰からも教えてもらったわけではない。これは自分で自然に思いついたことである。

（注）球の中心から見て四方八方は立体角としていくらかといえば、球の表面積は4 \pi r^{2}であるので、これを r^{2}でわれば、もちろん4 \piとなる。

これは平面角での全角が(2 \pi r) / r= 2 \piとなることと対応している。　

旧稿の改訂

旧稿の改訂をこのところ続けている。

具体的には『四元数の発見』の第６章「四元数と空間回転３」である。これはもう長く続けてきて、先は見えたと先日のブログで書いたことがある。

新しく書き加えたところは一応終わったのだが、いまは以前に書いた箇所の修正に手間取っている。それもおよそ草稿を書き終わったのだが、あとlatexの入力が必要である。

その入力の一部を昨夜行った。まだその続きが残っている。むしろこれからの方が多いだろう。

残っている課題は、四元数による空間回転の表示を3行3列の行列表示にするところである。

四元数のベクトル部分を表す v を単位四元数qとその共役 \bar{q} ではさんで

　q v \bar{q}

として、これを計算すると不思議なことに

   v=xi+yj+zk

としておくと q v \bar{q} の実部は０となって

　q v \bar{q}=x'i+y'j+z'k

と表されるのである。

だから、(x, y, z) を３次元の座標と見たとき変換後の (x', y', z') との間に

　x^{2}+y^{2}+z^[2}=x'^{1}+y'^{2}+z'^{2}

が成り立つ。これは原点からの距離が回転によって変わらないことを示している。

こういう風にみると、四元数で空間回転を表現できるのだと思えてくるだろうか。それはその通りなのである。

今日はちょっと書いたことが難しくてごめんなさい。

（２０２４．２．２８付記）Koujiさん、にご注意いただいたのだが、どこかかけているのか、元の原稿だとわからなかった。これはすでに出ているブログを見ればよかったのだが。

原稿ではx'^{1}+y'^{2}+z'^{2}のy'に^が欠けていたためにｙ’が２乗にならなかった。原稿では^が欠けていることを発見することはとても難しい。koujiさん、ありがとうございました。

弧度法4

弧度法3まで書いたので、頭にのってその４を書く。

これは直接に狭義の弧度法ではないのだが、立体角のことである。立体角は平面の弧度法の角の３次元への一般化である。

最近ではそういうことをちゃんと書いた本もかなり出るようになったが、立体角はなかなか理解ができにくいことの一つであった。私がこの立体角のことを愛数協の「研究と実践」No.31 (1989.9)に書いたころは他ではこのわかりやすい説明はあまり見たことがなかった（注1）。

その後、このエッセイを『数学散歩』（国土社、2005）に収録したときには元同僚だった、沢新之輔さんの書かれた解説が『エース電磁気学』（朝倉書店、1998）付録Bに出ている。ここでも沢さんは立体角の定義は平面での角の弧度法での定義の一般化であると明瞭に書かれている（注2）。

ちなみにいうと、『エース電磁気学』は３人の著者がおられて、そのうちのもう一人もよく存じ上げている小野和雄さんである。この方も元工学部の同僚であった。

（注1）この1989年はべルリンの壁の崩壊が起こった記憶すべき年であった。

（注2）小著『数学散歩』はもう残部はほとんど残っていないが、その中から物理数学に役立つ記事を抜粋した『物理数学散歩』（国土社）はアマゾンコムで購入できるので安いから購入してほしい。定価は2,000円ほどである。この本にはもちろん立体角のエッセイは収録されている。

他にファインマンがWoodsの解析学の本から学んだという「微分をして、積分を求める」方法も説明してある。ベクトル代数でよく使われるLevi-Civitaの記号の縮約についての日本語のテクストとしてはたぶん一番詳しい説明などもある。

最近では多くの文献で見かけるようになった、Legendre変換の説明もある。

弧度法3

弧度法3というほど珍しいことではないが、昨年末に改訂した「視力の基準」が弧度法と関係がある。

私の通っている眼科の医院で分数視力のことを教えてもらったといういきさつがある。

それで前の原稿の改訂版を発行したときにその発行の「数学・物理通信」を持っていっておいた。

別に弧度法を知っておく必要が眼科の看護師さんにあるわけではないが、仕事で学ぶところがあればうれしいだろうと勝手に思うからである。

「前のエッセイはずいぶん前でしたね」と古株の看護師さんに言われたからである。

私も視力の基準をどうとっているかなど保健体育の授業でもきいたことがなかった。

教育

教育っていうと、この言葉を嫌がる人もいる。私の知っている有名人では2000年に亡くなった物理学者の武谷三男は教育という言葉が好きでなかった。

彼は新しいことを見つけることには執心したが、いわゆる教育には否定的だった。

一方、私は教育が好きな方である。これは、しかし、お仕着せの世間的な考え方を教えるという意味の教育ではないのだが。

高速道路を車で走行したことのない人はいまでは少ないと思うが、行先とか高速道路の出口のインターとかを知らせる標識は少なくとも３回は出てくる。

例えば、松山から高知に高速道路で四国中央市を経由して行きたいとすると、この高知行きの高速道路への出口の標識は最低３回は出てくる。１回目に見逃しても２回目、３回目まで見逃して高知へ行きそこなう人はまずいない。

教育でも最低なんでも３回は教えなくてはならないことをこのことは教えてくれる。ドイツ語の私たちの先生である、R氏などはもう何十回となく私たちに同じことを教えてくれる。だが、それでもなかなか記憶に残らないというのが実状である。

例えばの話だが、春に行われるカーニヴァルへの始まりは前年の１１月１１日１１時１１分１１秒だともうそれこそ何回聞いたかわからないが、それでも私たちの頭にはなかなか定着しない。そういう話は私にはごまんとある。

私にしても大学でドイツ語を学んだことは３年くらいで大したことはないのだが、ラジオやテレビでの放送をもう何十年も飽きずに見たり聞いたりしている。それだのにその定着のしかたはとてもわるい。

これは私がその方面の専門家ではないということもあるのだろうが、専門家が聞いたら、あきれてしまうほどの記憶のわるさである。

マイクロウェーブ２

昨日、朝食のときに出た話だが、電子レンジの誕生にまつわる話である。

アメリカのシカゴだったかどこかの空港のレーダーの解像度がある特定の方向で、ある特定の時間、たぶん午前１０時ころだったかに悪くなるという現象が起こった。

その現象がどうして起こるかを調査してみたら、その時刻に空港の近くを流れている河をゴミの運搬船が通っているということがわかった。

そのゴミから出るアンモニアの分子の蒸気が空港のレーダーの発するマイクロ波を吸収するので、その時刻のレーダーの解像度が落ちるのだということがわかったという。

要するに、物質がマイクロ波の電波を吸収するということが知られたのであった。

この事実から食物や飲物に含まれる水の分子を振動させる波長のマイクロ波の電波をだして食物や飲物を温める機能をもった電子レンジ(microwave)ができたという訳である。

なんでも不思議に思ってその原因を追究するという科学者の執念を大事にしたい。

マイクロウェーヴ

マイクロウェーヴと書いたが、これが日本語の電子レンジを意味することをご存じだろうか。

私はドイツ語で電子レンジのことをミクロヴェッレというのは知っていた。もう何十年も前にホームステイのホストをしたときに、ドイツ人から聞いて知ったことばである。

　Haben Sie keinen Mikrowelle ?

というのであった。そのとき

   Doch, aber sehr altmodisch.

と答えたと思う。

　電子レンジは持ってないの。

　いやもっているよ。とても旧式だけれどもね。

そのころは妹からもらった本当に旧式の電子レンジを使っていたのだ。

最近は妻が食物や飲物をすぐに温めることができるといつも感嘆している新型になった。

小澤征爾さん

指揮者の小澤征爾さんが亡くなったことは日本人のみならず、世界の音楽界にとって大きな損失であったろう。

私は音楽がわからないのだが、その存在が大きかったことだけは何となくだが、わかる。

それにしても指揮者というものは不思議な方々である。譜面から作曲者の意向を読み取り、それを演奏者に伝える。そういうことが可能なのか。いや可能だから指揮者が存在できるのであろう。

指揮者はやはり一人の表現者であろうか。それはある場合には作曲者の意向をも超えた存在になるのだろう。

音楽というものは不思議なものである。

天才ピアニスト・ブーニン

昨夜、たまたまピアニストのブーニンが日本の４か所でピアノ・リサイタルを開いたという番組を見た。

彼は天才ピアニストと言われた人らしいが、なんらかの身体的病気でピアノが弾けなくなり、１０年の空白期を超えて復活したらしかった。

今では日本に住んでおり、それも奥様は日本人であるらしい。わたしは番組を途中から見たので、１０年の空白期についてはよくわからなかった。

よくわかったのは彼がドイツ語を話し、奥様もドイツ語を話すということだった。字幕がついていたのだが、私には彼の話すドイツ語がわかった。端正なきれいなドイツ語を話す人だった。

元ライバルのフランス人ピアニストが激励のために彼を訪問されてフランス語で話されているのも聞いた。こちらのフランス語も字幕もあったのだが、音声できいてもほぼ理解できた。

音楽はわからない。私はあまりピアノの音は好まないのだが、彼のピアノの音は耳障りではなかった。よい演奏だったのだろう。

私も片言のドイツ語を話すが、ドイツ語はあまり「いかした」言語だと思っていなかった。認識を改めるべきだろう。

弧度法2

弧度法2として坂江正『ピタゴラスからオイラーまで』（海鳴社）のある図について話しておこう。

この本の２０６ページに円周を１ラディアンごとに区切った図が出ている。

そして円周をほぼ半周するのに３ラディアンが必要だが、もちろん半周になるには３ラディアンではすこし足らない。あとおよそ０．１４ラディアンが必要である。

同様に円周を１周するには約６ラディアンが必要だが、もとより６ラディアンではまだ円周を一周できない。この６ラディアンにプラスして、なお、およそ０．２８ラディアンが必要である。

なんでもない図だが、さすがにこれは手練れの数学教師の面目が現れた箇所であろうか。

どういうことかというと、だれでも円周は弧度法で測った角度として見れば、2\pi ラディアンなのは知っているが、それを円周を１ラディアンごとに区切って見せたところである。こういう実感としての数学を学べる生徒さんは羨ましい。

（２０２４．２．２０付記）latexで円周率のパイを書いたつもりで、\paiと書いていた。今日見直して\piであることを確認したので、修正しておく。

なんでもないことだが、よくあるまちがいである。

弧度法

片山孝次『複素数の幾何学』（岩波書店）の本の第一章のはじめのところに１ラディアンの図が出ていて、そこに辺が１の正三角形が描かれている。

その傍には弧の長さの１が描かれていて、この角度は６０度の三角形の内角よりも少しだけ小さい図が描かれている。

この図を見て直観的に１ラディアンは６０度に近いがそれよりはいくらか小さいことがわかる。この１ラディアンを角度で計算して見ると、約５７．３度であることがわかる。

その値は詳しいことは覚えていなかったが、ようやくこれで１ラディアンの大きさの見当がついた。『複素数の幾何学』にはそういう説明はついてはいなかったが、明らかにそのことを意識して描かれたことは想像できた。

こちらは私がここに書いたような説明を坂江正『ピタゴラスからオイラーまで』（海鳴社）の２０６ページに見かけた。もっともこちらの方は説明だけで図はない。図と説明との両方がほしいなどと望むのはよくばりだろうか。

もっとも坂江さんはすでに『複素数の幾何学』を読んでおられるのだろうとは思う。それでそれを読みとったことを文章として書かれたというのが真相だろう。

そういう気づきが今までに定評のある三角法のテクストにあるのか調べてみたが、少なくとも秋山武太郎『わかる三角法』（日新出版）には出ていないようだ。

もっともよく調べたわけではないので、書かれているのかもしれない。他の人の三角法の著書にも図が描かれていないか調べてみたい。

ほぼ仕事が終わった

ほぼ仕事が終わった。とはいっても『四元数の発見』（海鳴社）の第６章にあたる部分の改訂版の草稿である。

ベクトル空間の話をどう付け加えるかの仕事がほぼ終わった。具体的には四元数の計量ベクトル空間のベクトルとしての直交性を示すことであった。

四元数の元 1, i, j, k を行ベクトルとして、(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0,1)と表し、スカラー積で直交性を示すことができる。そういうことを書いた。

だが、そういうことを述べる前にべクトル空間とか計量ベクトル空間の定義とかを述べたのであるが、これはまったくの天下りである。

原稿を昨夜読み返したら、やはり細かな修正を必要としているが、基本的なベクトル空間についてはようやく書き加えようとしていたことはほぼ書いた。 

なんでも仕事は無限に続くわけではないということを実感している。ほぼ終わってみるまでは無限に仕事が続くような感じがしていた。