３次元のラプラス演算子の極座標表示

３次元のラプラス演算子の極座標表示するときには、２次元の極座標表示を円柱座標を経由して行うのがいい、というのが中西襄先生から教わったことの一つだ（注１）。

だが、小著『数学散歩』（国土社）でのやり方みたいな方法で直交座標からの３次元の極座標への変換をしている本を見つけた。

これは村上雅人さんの『なるほど量子力学』II （海鳴社）である（注２）。この本の第９章　「極座標のラプラシアン」に書かれている。このために15ページを使っている。

私も『数学散歩』で７ページほどを使って示したが、いまからみるとどうもあまり親切な導出ではなかった。

その後、「数学・物理通信」８巻６号にもっと整理された形で１２ページを使って書いた。これは整理されたものであり、これを使えば少なくとも２日ほどでこの面倒な変換を導くことができたと思う。

学生のころに馬鹿正直な方法で計算をしてみたが、計算が下手な私は１週間ほど毎晩これに取り組んでみたが、結局最後まで正しい結果を得ることができなった記憶がある。

再度、数年前に係数を文字で置き換えた方法での同じ計算を「数学・物理通信」８巻６号(pp. 16-27)に載せたが（注３）、その計算を村上さんのやり方にもしたがって繰り返してみたいといま考えている。

（注１）この方法を学ぶのには中西先生の『微分方程式』（丸善）で学ぶのが一番わかりやすい。

（注２）村上雅人『なるほど量子力学』II （海鳴社）は海鳴社社長の辻さんのご厚意で頂いた。

（注３）「数学・物理通信」はインターネット検索すれば、すぐに名古屋大学の谷村先生のサイトに行き当たるから、いつでも読むことができる。

Protokoll

das Protokollはドイツ語であるが、英語にもprotcolという語がある。プロトコルという語を日本語にとして聞いた一番初めはコンピューター関係の用語である。

これは４０年くらいも昔のことである。何のことかわからなかった。いま英和辞典には「プロトコル」とか「ネットワークの接続手続き」などと訳がついている。

冒頭のドイツ語としてのdas Protokollだが、独和辞典を見ると「議事録」とある。これは私たちのドイツ語のクラスの先生の R 氏が、私がクラスの後で毎回つくっている「ドイツ語要約」をProtokollと呼んでいるので知ったことばである。

私は要約Zusammenfassung（ツザッメンファッスング）と呼んできたのだが、プロトコルの方が適切なのかもしれない。

protcolにもどれば、昔の英和辞典には「外交儀礼」とか最初に訳が出ていて、コンピュータのプロトコルの意味が理解できかねた。さすがにもっと新しい辞書に最初の意味ではないが、何番目かに「ネットワークの接続手続き」などと説明的な訳がついているのは辞書もup-to-dateになっていることの証でもあろうか。

知っている語彙数

「知っている語彙数」とは私にとってはドイツ語の語彙数という意味である。自分で思っているのはたぶん3000語と4000語の途中くらいではないかと思っている。

しかし、明らかに5000語には至っていない。大学の熱心なドイツ語の先生なら、5000語に満たない語彙しかない人は相手にされないかもしれない。

私のドイツ語を学んだ H 先生などは普通の大学生にでも3000語くらいは期待していたと思う。

それだとようやくほぼ60年を経て、ようやく H 先生の最低の基準を満たしたということになる。

教養あるドイツ人ならば、１万から3万くらいのドイツ語の語彙があると言われていたと思う。

いま先刻もD"urreという「乾燥」とか「かんばつ」とかを表す言葉を知った。これは5000語の中には入っていない。

昨夜のドイツ語のクラスでeinstellenという動詞が文章の中に出て来たが、この語が「休止する」という意味を持っているとは説明を受けるまで、知らなかった。

「（車をあるところに）入れる」というような意味は知っていたと思うが。だから、知っている言葉でも意味の多重性の数分の一しか知らないということである。

数式を表すときには

数式を表すときにはわかりやすくするためには、できるだけギリシャ文字を使わないとか、添字のついた文字を使わない。

こういう自分に課した決まりは、もちろん、なかなか従うことができない。それでもそういう規則を自分に課したほうがいいのではないかと、いつも思っている。

自分のことを言って申し訳がないのだが、小著『四元数の発見』（海鳴社）を書いていたときにもそのことを自分に課していた。だから、他の四元数の本と比べて読みやすいのではないかと思う。もちろん、この自分に課した規則に完全に従うことは不可能ではあった。

別に数式の中にギリシャ文字を使っても内容が難しくなるわけではない。同様に添字のある文字を使っても内容が難しくなるわけではない。いわば、慣れの問題ではある。

しかし、私自身はギリシャ文字を使った式を見たら、やはり難しそうに感じる。また添字付きの文字を見たら、難しく感じる。

唯一仕方がないのは、テンソル解析を扱うときには添字付きの文字を使わなければならない。これは仕方がない。

できるだけ添字のついたテンソルを扱わないために微分形式を使うとか、そういうこともあるが、それでもフランダースの著書『微分形式の理論』（岩波書店）でも微分形式を学ぶと言ってもテンソルを廃止はしないとフランダースは断っている。

それと｛　　　｝をできるだけ外側に使い、それより内側では（　　）と[      ] とを使う。日本では私もだが、数式の内側から「かっこ」としては（　　）、｛　　　｝、[         ]を使うように教えられている。

だが、順序を変えて（　　　）、[        ]、｛　　　｝を使うほうがよい。これはアメリカとかヨーロッパとかで現在行われている。もっとも昔の本では日本式の数式の表示もときどきは見られる。

５０年以上も昔、博士論文の研究をしていたころ、その計算のフォーマリズムを学ぶためにGoldbergerの"Collision Theory" で、（　　　）、[        ]、｛　　　｝の順にかっこが使われていたのだが、そのときにはそういう使い方の違いがあるとは気がつかなかった。

その後、何年もして、放送大学のラジオのテクストだったかをもらったか、その放送を聞いたときにそういう注意がされていて初めて知った。これなども単なる慣れの問題だが、最近では｛　　　｝が使われているのを見るとあまりきれいに感じないように私の感覚が変化してしまった。

「数学・物理通信」の常連の投稿者であり、編集委員にもなってくださっている、Sさんの原稿の数式ではかっこが｛　　｝のかわりに [         ]がちゃんと使われており、読みやすく感じるのはさすがである。

 

新しい試み

新しい試みと言ってもそれほど新しいことではない。

小川修三さんは私が原子核物理学の講義を聞いた先生であるが、彼の量子力学の講義ノートを『素粒子論研究』電子版にその第１部と第２部は投稿して掲載されている。ところが第３部がなかなかできない。

それで、今思っているところは私の発行している『数学・物理通信』にすこしづつ掲載することにしてはどうかと考えている。

まだ残っている章は摂動論、多粒子系、相対論的量子力学、場の量子論の４つの章と演習問題とが残っている。

まずは摂動論から少しづつ掲載していきたい。

ドイツ語のパズル

ラジオのNHK講座のテクスト「まいにちドイツ語」の11月号の末尾近くにあるドイツの語のパズルだが、１か所だけわからないところがあった。

タテのカギの３である。

「彼はもうけから取り分を要求する」とあり、そのドイツ語が

　　　Er fordert seinen  (       )   am Gewinn.

とあり、(      )のところはA*t*ilまでは他のところのヒントでわかっている。ところがA*t*ilの＊のところがわからない。

辞書を丹念に調べるという方法もあったろうが、それをする気も起らなかったので、インターネットに頼った。

「彼はもうけから取り分を要求する」を日本語として入力してドイツ語に翻訳させたら、Anteil（アンタイル）が出てきた。Anteilという語を今まで見かけたことがなかったわけではないが、意識して覚えたことがなかった。

どうも「取り分」という訳語よりも私には「分け前」という訳語の方がピンとくる気がする。

「彼はもうけから取り分を要求する」は、だから、

　　　Er fordert seinen  ( Anteil )   am Gewinn.

となる。もっともこのドイツ語のパズルではこの部分がわからなくても答えはでるのだが。出題者の方の気遣いで新しい語を覚えた（注）。

そういえば、「天使の分け前」という映画を前に見たことがある。「天使の分け前」とは醸造中のワインとかウィスキーとかが醸造中に蒸発で減る分をいい、これを天使が飲んだと考えるという、ジョークから来ている。

（注）私の持っている『ドイツ語基本語活用辞典』では3000語の見出し語が出ているが、このAnteilはそこにはなかった。『ドイツ語基本語5000辞典』（白水社）には出ていた。

（２０２４．６．８付記）いくつかの外国語ネタのブログにいくつかの凡ミスがあった。そのうちの一つがこのブログである。すみません。

近藤効果

近藤効果で有名な近藤淳さんが今年の文化勲章を授与されるという。おめでたい。近藤さんは現在９０歳だという。

現在の脳卒中の病後であり、言葉を出して話すことができないらしい。もっとはやく文化勲章を受章していれば、受賞の喜びを本人から聞くことができたのだが。

近藤効果のことを聞いたのは、H大学で博士号をとってすぐに半年ほど非常勤講師として滞在した、京都大学のある研究所であり、近藤効果について話してくれた K さんはそのころ売り出し中の素粒子物理学の研究者だった。

そのときに話を聞いたのだが、あまり内容は覚えていなかった。新聞によると金属に不純物の磁石の性質を持つ物質が微量含まれていれば、金属を絶対零度に近くまで冷やしていくときにその不純物がなければ、電気抵抗がゼロに近づくのだが、その不純物があれば、その電気抵抗がゼロに素直に近づかず、こぶのような電気抵抗の温度変化が起こる。

このような現象がなぜ起こるのかを近藤さんが理論的に解明したので、この効果を近藤効果という。

1968年の４月から６月くらいの間だったと思うが、この近藤効果のことをアトム型研究員として日大から来られていた、Kさんから聞いたのだが、そのころ私のいた研究所にはその後、アモルファスの研究で有名になった米澤富美子さんが助手でおられた。

この米澤さんは先年亡くなられた。

武谷三男のよかったこと

武谷三男のよかったことはどこだったか。

彼は認識の三段階論を提唱し、また技術論の新しい定義を提唱した。物理学者としてのよかった点はこういうことではないような気がしている。

一つには理論の適用限界を強調したこととか、または概念の分析を強調したことなのであろう。

適用限界の強調による核力研究の方針は日本の核力グループには大きな影響を与えた。いまでもそれを金科玉条としている人もおられる。

あまり信仰がきついと困ったものだが、それから無批判でなければ、学ぶところは多い。

もう一つ、概念分析の重要性の強調はまた私たちの学ぶべきところがある。

こういったところを学ぶべきではないのだろうか。

校正を終わった

ここ１週間くらい専念してきた、徳島科学史雑誌の投稿原稿の校正が終わってさきほど編集者に返送した。

今回も校正箇所が多かった。今回は９月におおあわてで論文を書いて、ぎりぎりで提出期限に間に合わせたので、推敲が足りなかった。

もっとも推敲すれば、いつでも文章がよくなるというものでもないが、だいたいは推敲をよくするほうである。

ぱっと書いた文章は重複が多かったりと後で見たら、なにを言いたいのか自分でもわからないことが多い。

それと今回は修正原稿も同時に同封した。こういうことはいままでしたことがなかったが、校正稿が分かりにくい場合を思ってのことである。

また別に編集者宛にはメールでlatexの原稿を送付しておいた。

それに編集者が親切にまだ１０ページ目に余白が半分以上残っているから何か書けますよと余白を埋めることを勧めてくれた。なかなか親切なアドバイスである。

それで校正時追加を書いた。これは本当は推敲の段階が十分あれば、書こうと思っていたことである。

（注）校正の終わった投稿論文タイトルが「他人から見た武谷三男６」というのである。今年がシリーズの６度目の論文ということであった。Taketani  Mituo who ?って思われる人が現在ではほとんどだろう。今年で没後２０年となる。ここでは湯川秀樹、坂田昌一らとの共同研究論文のある物理学者とだけ言っておこう。

核禁止条約が発効されるようになった

国連の場で議論されて、条約が締結された核兵器禁止条約が国連加盟の５０か国の批准を得て、９０日後に発効することになった。

これは画期的なことである。ところが唯一の被爆国である日本ではこれを批准していない。

日本はアメリカの核の傘(nuclear umbrella)の下にあるという理由で批准をしていないらしいが、現在の国際情勢を全く読み誤っている。

確かに大国は核保有国をはじめとしてこの核兵器禁止条約の批准をしていないのだが、これらの国は現在の小国の意向に完全に反しており、それはとても旧式の世界意識なのだということを知らねばならない。

確かに現在も核兵器を多量に持つ大きな国があり、それを気にして核兵器を自分の持とうしている小さな国、北朝鮮のような国もある。

核兵器をもつことが時代遅れの力の考えであるということを私たちは知らねばならない。

人を殺すことにしか使えない核兵器は人類のためにはならないのだという思想が早く世界全体のスタンダードにならねばならない。軍事的な力で他国や他民族を脅かす国や民族が、人類史上で高邁な理想に燃えた国であるとはいえない。

いわゆる自分のもつマインドセットを、そういう風に転換しなければならないときがもう来ているのだ。

世界で少なくとも軍隊を憲法で持たないことを宣言している国は一つか二つしかないが、それは人類の未来を見通したすごく高邁な思想である。その思想がいかに大切なのかをもう一度かみしめるときであろう。

生き生きとしたイメージが抱ける数学

生き生きとしたイメージが抱ける数学を目指して日ごろそういうものができないかと思っているのだが、なかなかほど遠い。

昨週の土曜日の午後、そういう中学数学の一環として負数と虚数の導入について話した。

イメージができたと言ってくれる人は誰もいなかったが、すこしは私が密かに持ち続けている数学のイメージの一端を示すことができたと思う。

数学だってそれを考えだした人がおり、その人はどういう気持ちでその数学的概念をつくったかをできるだけ示すことができるようにならないものかという気持ちだけが常に私の心の中にある。

ある数に負の数(-1)を掛けることは実数を表す、実数直線を原点Oの周りに１８０度回転することであり、虚数iを掛けることは元の複素数を原点Oのまわりに９０度回転することである（注）。

もちろんそういうことがキチンと言えることを知るためには複素数の極形式表示を知る必要がある。

しかし、複素数の極形式を導入しないでも上の説明は直観的にだれでも理解できるはずである。

このブログでは言葉で書くので、理解が難しいが、図で描いて言葉で説明すればだれにでもわかるはずである。昨日集まった人たちは若い人ではなかったのでもちろんそのイメージが描きにくいという苦情は私の妻からもでなかった。

関心をもたれた数学の専門家ではない人は「数学・物理通信」10巻4号の「複素数の導入」をインターネット検索して読んでほしい。少しは難しい数式を書いてあるが、上に書いた事実はスキップしても十分理解できるはずである。

土曜の説明でもそこは説明には入れていない。

（注）このことは、すでに遠山啓先生の岩波新書『数学入門』上に述べられているのだが。

昔のブログ

昔のブログを誰かが読んでくれたらしい。それでそのブログを自分の書いたブログだが、なかなか文章もしっかり書かれているし、それにトピックもなかなか自然科学者としてしっかりした議論をしている。

自分が書いたものを自慢するようで申し訳がないが、もっとも気がついたときには前のブログでも断りなしに修正をしている。

文書の修正ということでいつも私が引き合いに出すのは毛沢東は記録文書を修正したという話がある。これは記録された文書を最近のように文書がなかったことにするという話ではない。

古本を注文した

ある『ベクトル解析』をインターネットで注文した。インターネットでうまく連絡できなかったので、携帯から直接に電話した。

そのときに古本屋さん、この本はあまり手に入らないのですと言われた。結構な値段だったので、古本屋さん、さすがに商売上の知識があるものだと感心した。

たしかにあまり古本市場にも出回っていない。出版社はちょっと玄人好みの出版社である。

望む事柄が書かれているかと予想してのこのベクトル解析の書の注文である。

『大道を行く高校数学』という３冊の高校数学の学習参考書を復刊した現代数学社から出されたある方の『ベクトル解析』である。

Volkeszahlung

Volkeszahlungという語を読んで、この語がすぐにわかるようなら、あなたのドイツ語力はすばらしいものだろう。

辞書をまだ引いてないのだが、たぶん「国勢調査」のことだろう。これは昨夜１９時３０分ころからはじまったzoomによるドイツ語のクラスの冒頭に言われたドイツ語である（注１）。

はじめなんのことかわからなかった。どのような調査が行われたかを尋ねる問いがなされたが、途中で変な問いがあった。

「朝からコヒーを何杯飲んだか」だとか、「ズボンを何着持っているか」だとか、これはユーモアでそういうことを尋ねているのだと思った（注２）。

ところが国勢調査の調査内容をあらかた話した後で、他にどんな質問があったかと尋ねられた。

要するに会話の中でどういうことを聞き取っているのかということを意図して変な質問を挿入していたのだ。

こういう教育的な配慮を先生というものはしなくてはならないのかと感心をしてしまった。

それで思い出したのだが、ケーブルテレビで放送されているアメリカのTVのドラマのシリーズで「メンタリスト」というのがある。この中に最近の再放送で見たのは、ある人に呼ばれた、ドラマの主人公ジェーンさんは突然に風呂場につれて行かれ、なんの説明もなく浴槽の水の中に何回か連続して頭を突っ込まれるという乱暴を受ける。

そのときに何の脈絡もなくそばにいる人が関連のない言葉を続けていう場面がある。そしてそのときにジェーンさんが殺されるのかと思ったが、これが脈絡のない言葉をジェーンさんが棒暗記できるかのテストのためであった。

この後の成り行きは私が入浴するためにテレビの前の席を外したために知らないのだが、ひょっとしたら、R氏はこのテレビにヒントを得て、これを手段に使ったのかもしれない。そうだとすれば、なかなか R 氏は隅におけない人である。

（注１）後で辞書を引いたら、やはり国勢調査だった。

（注２）「今日コヒーを何杯飲んだか」Wieviele Tassen Kaffee haben Sie heute getrunken ?

「ズボンを何着持っているか」Wieviele Hosen haben Sie ?

逆さマッターホルン

「逆さマッターホルン」の写真をパソコン前の壁に長年掲げてきたが、とうとう昨日イタリアのフィレンツェの市街の古い絵に差し替えられた。

この絵はいつだったか県の美術館でヨーロッパか何かの古い市街の絵か何かの展覧会があり、気に入ったフィレンツェの絵を購入していたのを書棚の前に長いこと購入時に入れてもらった袋の中に入れられたままだった。

それを2階から持って降りてありあわせの額縁に入れてもらったら、なかなかいい。それでそのままに居間の書棚の下においてあったが、額縁の大きさがちょっと合わなかった。それを昨日妻が画材店でそれに合った額縁を買ってくれたので、パソコンの前の壁に掲げた。中世のころの絵だと思われる。

こういう絵を掲げるのはちょっとした骨董趣味かもしれない。ドイツに留学したときに世話になったドイツ人教授の自宅にそういう種類のこれは本物の銅版画だったかがあった。

「これはいいですね」と先生にお茶に呼ばれたときに言ったら、これはこの先生Kretchemarさんが学んだハイデルベルクの銅版画だという。そういう絵がさりげなくかかっていたりするのが、ヨーロッパ風だと思うのだが、本当のところはわからない。

「逆さマッターホルン」の写真にもどるとこれは以前のドイツ語のクラスで一緒だった、T さんが2008年7月にZermattで湖に映ったマッタ―ホルンと正置のマッタ―ホルンとの姿が写ったものである。ただ湖に映ったマッタ―ホルンも正置のマッターホルンもちょっと小さいのが惜しい。

T さんは写真を撮るのが趣味の方であり、なかなかよく撮れていた。この T さん、毎年ではないかもしれないが、一年おきくらいにヨーロッパに旅行するリッチな方である。