遠山啓さんの三角関数の内容と私の書いた解説

『遠山啓著作集』（太郎次郎社）の数学教育論集に書かれた遠山さんの高校数学入門の「三角関数」をここ数日読んでいた。わからないところもあるのだが、およそはわかった。

それで私の書いた三角関数の解説と比べると、遠山さんの方が内容的に優れている。これはもちろん当然であるのだろうが、私の解説はあまりに即物的で広がりに欠けている。これではだめだと思い知った。

遠山さんの解説にも高校生でない私にも難しいところもあるが、悠揚迫らず解説している。

彼の解説でわからなかったのがヘロンの公式の幾何学的な証明であった。ヘロンの公式とは三角形の面積を三角形の辺の長さだけで求める公式なのだが、その代数的証明は有名であり、こちらは問題がまったくない。

この幾何学的な証明を読んでもよくわからなかったので、秋山武太郎『三角法』（日新出版）を引っ張り出してきて読んだ。これにはいろいろ説明が書かれていて、複雑である。これをもうちょっと簡略にした証明を思いついた。

これは遠山さんの証明にすでに書かれていたことかもしれないが、その証明が簡略過ぎて、すぐには読み取れなかった。もちろん新しい証明とまで言うほどのことではないが、秋山さんの幾何学的な証明よりは簡略である。

遠山さんの証明は簡略なのだが、ちょっと説明が不足であろうと思っている。１２月発行の「数学・物理通信」にはその証明を載せたいと思っている。

ヘロンの公式に幾何学的な証明があることなど知らなかった。

コロナ予防接種（第５回目）の予約

コロナ予防接種（第５回目）ができると松山市から数日前に手紙が届いたので、先刻インターネットで予約をしようとしたが、いくつかの病院を探したのだが、どこも予約可能ではなかった。予約定員の空きはあるとのことだったが、どうも調べて見ると来年の５月くらいまで予約定員の空きがないというのなぜだかわからない。

いままでも４回接種をしてきたので、インターネットでの予約に自信があったのだが、訳が分からない。

５回目の接種は、BA1対応の２価ワクチンといわれるものである。

接種できるとしても１１月１８日以降のことなので。まだ２週間ほど先のことになる。

ヘロンの公式

ヘロンの公式といってすぐになんであるか知っている人は少なくとも高校数学はよく知っている人だろうか。三角形の辺の長さだけでその面積を与える公式である。

昨夜、遠山啓が書いた三角関数の本の記事を読んでいたのだが、このヘロンの公式の幾何学的な証明をすぐに理解できなかった。

遠山さんの証明があまり親切ではなかったのだと思う。もちろん代数的な証明はすぐにフォローできたのだが。

それでそこは一応読み飛ばしておいたのだが、寝る前に気になって読んでみた。

わかったのかどうかはわからないが、一応推測をしておいたが、きちんとした証明をどこかで読んでおきたいと思った。

少し古い本には証明が出ているようなので、これから読んでみようかと思っている。

また金曜日だが、

また金曜日だが、木曜日のドイツ語のクラスが済むと一週間の大半が終わった感じがする。

とはいうものの、私は出された宿題はあまりやらないし、いい生徒ではない。

先生のR氏など困っているのかもしれいない。

いま宿題にでているのはタロットカードでクラスのメンバーの運命を予言する占いをつくって送ることである。

いろいろあるのだが、私以外のメンバーは宿題をすませているのだからみんな優秀である。

さてどうしたものかを悩んでいる。

ブログを書くのも大変だ

ブログを書くのも大変だ。いや文章を書くことが大変だと言っているわけではない。

このコーナーにたどりつくことが簡単ではなくなっている。Dアカウントを設定することが推奨されているらしいのだが、どうやったらいいのかわからないので、このブログを書くことになかなか行かないのである。

嫌がらせのつもりではないらしいのだが、その意図がはっきりくみ取れないので、嫌がらせかと思ってしまう。

「推測するベクトル解析」

「推測するベクトル解析」というエッセイを何回か書こうと思っている。

これは私のベクトル解析のわからなさを何とかしたいという自分なりの理由からそういうものを考えた。だから何回か連載するつもりだが、その連載は１，２回で後がまったく続かないものかどうかわからない。

いくつかのアイディアはあるが、それがうまく連載のテーマにつながるかどうかはまったくわからない。

しかし、やってみる必要はありそうである。私にもベクトル解析までとは行かなくて、ベクトル代数まではなんとかあまり問題がないと考えている。

Croweの”A History of Vector Analysis"(Dover)の第５章を昨夜、就寝時間を少しずらして読んだ。この本は前から知ってはいるが、なかなか読む気にならない本である。

先日から探していた本のうちの１冊は見つけた

先日から探していた本のうちの１冊は見つけた。だが、もう１冊の本はやはり見つからない。

どこかに持っていって忘れて帰ったのだろうかと思う。見つけた本の場合には何回もそこを見たのだが、全然見つけられなかったのだから、不思議であった。

今の段階ではすこしベクトル解析のことを書いてみようかと思っている。これは１２月発行の「数学・物理通信」に載せることができたらいいのだが。

題して「推測するベクトル解析」と名付けたらどうかと考えているが、連載が続くかどうかわからない。

今日は月の第４週の土曜日なので

今日は月の第４週の土曜日なので雑談会がある。

今回は１２９回目の雑談会である。よくもこれだけ続いたものだと思う。私の努力もあるが、他の人の努力も大いにある。

特に、周りの人に支えられての雑談会である。今レポーターのYさんとKさんとが来られたところである。

いつも何か書くのだが、

いつも何か書くのだが、今朝はなにを書いていいかわからない。

昨日はストークスの定理の導出について書いた本を読んでいた。できるだけいろいろの本を読みたいと思っている。それも私にわかるという基準がある。

読んでも私に理解できない説明は困る。なぜストークスの定理かというとこれがガウスの定理と比べてわかり難いという感じがしているからである。

きちんとした証明ではないが、広田良吾さんの差分法の説明でなんとかストークスの定理がイメージしにくいという印象は払しょくされた気がしている。

私はいままであまり真剣にストークスの定理を理解しようとはしなかっただろうか。前にも読んだことがある、ファインマン物理学のベクトルの説明をもう一度読み返してみようと思って訳本を自宅から仕事場に先日来もってきている。

いったん分かったと思うと昔読んでも理解できないと思ったこともわかるという感じに変化するらしい。

ベクトルにおける回転rot A

ベクトルにおける回転rot Aの意味を広田良吾さんが書いていると思って昨日書棚の奥から、『差分方程式講義』（サイエンス社）という本を取り出してきた。

この本の付録に「離散空間でのベクトル解析」というところがあり、昨夜寝る前にちょっと読んでショックを受けた。

忠実な数学的な証明ではないが、ベクトルにおける回転rot Aの意味を生き生きと伝えている。この回転rot Aの意味を私が始めて読んだのは長沼伸一郎『物理数学の直観的方法』（通商産業研究社）であった。

その後、注意して見ているとぼつぼつこのことに言及してある書籍に出会うようになった。

しかし、ガウスの定理やストークスの定理の直観的な説明と共に書かれたこれらの広田さんの説明には大げさに言うとショックを受けた。

こういう本はあまりない。いつだったか愛媛大学に広田さんが集中講義にこられたことがあったが、その講義の後でこの話を物理の百々先生にされていた。

このときにはあまり感激した覚えがないのだが、あまりよくはわかっていなかったためらしい。

広田さんの説明は微分ではなく差分法にもとづいたものであるが、私もこの説明をいつかしたいと思っている。

２冊の本が見当たらない

２冊の本が見当たらない。　

昨日から書棚を探しているのだが、見当たらないのである。１冊は著者の京都大学におられた北野正雄先生から送ってもらった電磁気学の本であるが、どこにも見当たらない。

なくしてしまったのかもしれない。大切な本であり、いまちょうど読んでみたかったのだ。もう１冊は「よびのりたくみ」さんというハンドルネームの方の書いた本である。

この「よびのりたくみ」さんは最近ではYou Tubeでわかりやすい数学の講義をなさっている方の本である。自宅に持って帰ったのかと思って昨夜自宅の書棚をちょっと探したが、どうも持って帰っているとは思えなかった。

さあ、手元にあれば、すぐにでも見たいのだが、どうもどこかにもって行って、忘れたのかもしれいない。しかし、この心当たりがない。

大体、私はあまりどこかに行くことがとてもすくないのだから。

「数学・物理通信」12巻6号を発行した

昨日１８日に「数学・物理通信」12巻6号を発行した。今日発行するつもりであったが、昨日発行すれば、今日の午前は自由になると思ったからであった。

発行してから、ちょっと見たら、私の原稿の言葉がちょっと、とんでいるのを見つけたが、後の祭りである。

発行を一日遅らせるとそれだけミスは少ないものになるのは事実だが、それだけ時間がとられるのはこれもまた事実である。それでもできるだけミスを少ないものにしたいとは思うが、これも私自身と共同で編集をしてくださっている編集委員の時間を使っていることになる。それくらい編集には時間がかかるのである。

通巻100号の発行は昨年の11巻5号だったので、それからでもまだ10号まではいっていないが、号外号も含めて９号くらいの発行になっている。

編集者は別に褒められる仕事でもないが、手間だけはかかる。いわば、黒子の仕事である。

いくつかのアイディア

四元数の話題が私の頭の中で少し落ち着いて来たので、つぎに私のよくわからないテーマであるベクトル解析に関心が移って来ている。

これの一番納得できていないところはストークスの定理とガウスの定理である。ガウスの定理の方はストークスの定理ほどわからないわけではない、こちらはかなり直観的にわかるところがある。 

つぎの問題点はrot Aの意味である。しかし、これはかなり多くの書籍で説明がすでにされている。

最後の問題はベクトル積である。これは私もなんどもこれについて書いて来たので、解決すみかも知れないが。

しかし、なんでこんな変な成分をもったベクトルを考えるのかということがある。ベクトル積は普通のベクトルではなく、軸性ベクトルと言われるものであり、鏡映変換したときの性質が普通のベクトルである、極性ベクトルとは異なっている（注）。

ベクトル積のベクトルは、たとえばだが、その第１成分には成分1という数字が入ってこないという難点があり、これをよしとしなかったLevi-CivitaがLevi-Civitaの記号を導入したといういきさつもある。これも私の勝手な推測であり、歴史的事実かどうかはわからない。

ベクトルの話のはじめは四元数からベクトルの二つの積、スカラー積とベクトル積の導入をするということからはじめたい。そこをどのようにはじめるのか。まだアイディアが私にあるわけではない。

線形代数でいう、ベクトル空間でのベクトルと物理でいうところのベクトルとはちょっと違うという注意もいる。

物理でいうべクトルは計量ベクトル空間のベクトルであるが、一般のベクトルはもっと意味が広い。また計量ベクトルは、それをテンソルに一般化されるということもある。

これはベクトル解析ではなく、線形代数のテーマかもしれないが、ベクトル空間の公理がどのような推論で出てきたのかについての私なりの推測もある。これも歴史的な事実とはかならずしも同じではないかもしれない。

（注）物理ではこのベクトル積で表される物理量はいくつかある。たとえば、力のモーメントとか角運動量とかはこのベクトル積で表される。並進運動のニュートンの運動方程式から剛体の回転運動の基礎方程式が導かれる。

これは並進運動のニュートンの運動方程式と剛体の回転運動の基礎方程式の間の法則の類似性を示すことともなる。

いつものことだが、

いつものことだが、文書の修正をしたつもりが修正がされていないということがよくおこる。

どうしてこういうことになるのかわからないが、基本的に私があわてんぼうだということであろうか。小さい子どものころからあわてんぼうである。

それでも慌てて命を落とすということまでもはしていないから、８３歳のいままでなんとか生き延びることができたと思う。

これからはどうなんだろうか。昔の大学の同僚だった化学のある先生が彼の父親を亡くされたときに、親父はあわてんぼうだったから、生き急いだのであろうとその父親の死後に話をされていたことを覚えている。

もっとも生き急ぐ人もいないとも思うのだが。

「数学・物理通信」12巻6号の編集に目途がついた

「数学・物理通信」12巻6号の編集に目途がついた。

９月に発行予定だった１２巻６号だが、なかなか編集に目途がつかなかった。ここにきてようやく目途がついたので来週中にでも発行できるかもしれない。

やれやれよかった。『四元数の発見』の補注の追加の原稿書きと修正箇所の指摘とに今月は時間をとられたのが、編集が遅れた原因である。

そのいずれもにめどがついたので、やれやれというわけである。